Dilatazione temporale e decadimento muoni

[Cepox]

Ciao,
avrei un problemino di relatività del quale vorrei sapere se ho
risolto giustamente i calcoli o meno.
Devo calcolare il fattore di dilatazione temporale di decadimento
dei mesoni pi greco più. O per essere più precisi, supponendo
un un bersaglio che colpito da un fascio di protoni produca dei
mesoni pi greco più e supponendo che un rilevatore
deve calcolare la quantità di mesoni che non è decaduta, allora
devo calcolare la distanza massima a cui posso porre
questo rilevatore, visto che la dilatazione temporale
permette ai mesoni di percorrere più spazio prima di decadere.

Ora, sapendo che il mesone pi greco più decade in 18x10^-9 secondi
e sapendo che il mesone ha una velocità di 0.9978 di quella della luce,
allora
senza tenere conto della dilatazione temporale dovrei porre il
rilevatore a
(299792458 * 0,9978) * 18x10^-9= 5,384 metri di distanza dal bersaglio.

Però considerando l'effetto di dilatazione temporale nel sistema
di riferimento del mesone, la distanza a cui pongo il rilevatore potrà
essere molto maggiore.

Per calcolare quindi questa distanza e il fattore di dilatazione
temporale
ho usato questo procedimento:

Inanzitutto ho calcolato la distanza temporale dal sistema di
riferimento del
"laboratorio". Ovvero:

Dt= 5,384 metri / 0.9978 = 5,396 metri

Quindi ho calcolato l'intervallo spazio-temporale:

(Intervallo)^2 = ( Dt )^2 - ( Ds )^2

dove Ds corrisponde alla distanza spaziale. Quindi:

( Intervallo )^2 = ( 5,396 )^2 - ( 5,384 )^2

Quindi l'intervallo dello spazio-tempo
corisponde a 0,359 metri.

Sapendo questo, nel sistema di riferimento del
mesone la distanza temporale corrisponde
all'intervallo spazio-tempo.

Così per calcolare la distanza in cui il mesone
decaderà e quindi la distanza entro cui porre il
rilevatore sarà il prodotto della velocità del mesone
per la distanza temporale nel suo sistema di riferimento:

(299792458 * 0,9978) * 0,359 = 107388716 metri!

Circa 107 mila chilometri!!
Mi sembra troppo esagerato questo valore, e quindi
penso di aver sbagliato qualcosa nel procedimento.
Ma non riesco a capire dove : \

Grazie a chiunque riuscirà a risolvere il dilemma ^^

Ciao! : )

[foice]

Guarda, non ho seguito bene il tuo ragionamento nel senso che non l'ho
scritto, però credo si tratti semplicemnte di passare dal tempo
proprio del pione al tempo del laboratorio, cioè se non ricordo male

T_lab=Gamma*T_proprio

Gamma=1/SQRT(1-Beta^2) =15.08 nel tuo caso

Così percorrerebbe Beta*C*T_lab=0.0812 Km=81 metri

Infatti il tempo di vita medio è dato nel sistema di riferimento di
quiete della particella e tu la misuri in un sistema che si muove a
0.9978c rispetto a questo.

81 metri forse è meglio, credo sia corretto, ma non sono un esperto
del campo, aspetterei altri commenti ...

[Ruggero Altair]

Giuro, non sono riuscito a capire quello che hai calcolato...
A parte che il tempo di decadimento si riferisce al sistema col mesone
fermo, non a quello del laboratorio...
Dt di decadimento = 18*10^(-9) s
poi lo porti nel sistema del laboratorio (in cui si muove a v = 0.9978 c),
di cui ti calcoli il fattore gamma, e ti trovi il nuovo Dt' nel sistema del
laboratorio.
Gamma = radq (1 - v^2)
Dt' = gamma*Dt = 2.72*10^(-7)
E poi ti calcoli semplicemente lo spazio percorso
Ds' = v*Dt' = 81.5 m
Spero di non aver sbagliato io i conti :))
Ciao
Ruggero

[Cepox]

Innanzitutto vi ringrazio davvero tanto per le risposte, mi avete tolto
un bel peso, soprattutto sapendo che il mio procedimento
infatti non era giusto.

Allora, mi sono abbastanza sorpreso nel constatare che tutti e due avete
detto di non avere capito un accidenpolina dei miei calcoli ^^, ma
adesso vi dico meglio da dove ho tirato fuori questi passaggi.

Sto leggendo un libro scritto da Wheeler e Taylor, "Fisica dello
spazio-tempo", davvero un bel libro ^^.
Beh, alla fine di ogni capitolo ci sono anche un bel po' di esercizi e
problemi, e questo della dilatazione temporale dei muoni era appunto uno
di questi esercizi.

Ora, ho visto che voi avete usato il fatto gamma, o fattore di
dilatazione temporale che deriva dalle equazioni di trasformazione di
Lorenzt. Però il capitolo del libro in questione dove veniva presentato
questo problema non trattava ancora delle equazioni di Lorenzt, ma lo
faceva più avanti. Quindi era implicito che il dato problema era da
risolvere con gli elementi presentati fino a quel punto del libro, e
questi elementi gli ho appunto usati per fare il calcolo.

Quindi, oltre alla formulina per ricavare l'intervallo spazio-temporale
( Intervallo )^2 = ( Dt )^2 - ( Ds )^2 c'erano altri passaggi semplici
quali chessò, ricavarel'intervallo di tempo in metri di tempo dividendo
da 1 la frazione di velocità della luce (es 0.9978).

Detto ciò, non riesco a capire se sia possibile effettivamente risolvere
il problema calcolando la distanza spaziale nel sistema di riferimento
del laboratorio da questi semplici formule, oppure ciò è impossibile
senza usare il fattore di dilatazione temporale dell'equazioni di
Lorentz. Se fosse vera quest'ultima non riesco a capire come mai quel
problema fosse proposto in quella parte del libro.

Non so, magari mi sta sfuggendo qualcosa, però penso che il problema
dovrebbe essere risolvibile senza le equazioni di Lorentz, perchè
altrimenti non avrebbe senso averlo messo in quel capitolo del libro. E
quindi non riesco capire come risolverlo senza il fattore gamma.

Ad ogni modo grazie comunque per la disponibilità!

Ciao :)

[Cepox]

(Intervallo)^2 = (Dt)^2 - (Ds)^2 = (Dt)^2 - 0^2 = (Dt)^2
Nel riferimento O' del laboratorio abbiamo, essendo
(Intervallo)^2 = (Dt')^2 - (Ds')^2 = (Dt')^2 - (vDt')^2 =
= (1-v^2)(Dt')^2
Uguagliando l'intervallo: (Dt)^2=(1-v^2)(Dt')^2
Dt' = 18x10^-9s / (1-0.9978^2) = 2.715*10^-7 s
Ds' = vDt' = 0.9978 c * 2.715*10^-7 = 81.21 m
Date le cifre significative di Dt, direi 81m.

Fantastico ^^
Scusa l'entusiasmo ma alla fin fine penso che non ci sarei mai arrivato
a
provare ad eguagliare (tramite la formula v=Ds'/Dt') Ds'=vDt' e quindi
ricavare
poi tutto il resto.
In effetti quello che si ottiene è proprio il fattore gamma
dell'equazioni di Lorentz.

Che dire, grazie tante, sia a te Paolo che a tutti gli altri.
Sono riuscito a mettere in chiaro una questione che mi rodeva dentro da
un po'.

A presto, Ciao :)

[Paolo Russo]

Nel riferimento O del mesone abbiamo Ds=0 (perche' il fotone

Ahem, sempre mesone, non fotone, ovviamente. :-(

Ciao
Paolo Russo