Discussione:
Errore sull'integrazione numerica
(troppo vecchio per rispondere)
Daniel
2004-05-18 10:48:09 UTC
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Ma l'errore sul valore di integrale ottenuto?!? Pensavo di trovare l'errore
come differenza tra area minima e massima (ovvero sottraendo o aggiungendo a
tutti i punti l'errore sulla y). Ma mi e' stato giustamente obiettato che
compierei una sovrastima notevole dell'errore (un po' come quando si prova a
fare un fit di retta con la massima e minima pendenza). Allora mi e' stato
proposto di fare un fit di una polinomiale, ma a questo punto dovrei
decidere a priori di che grado.
Hai provato semplicemente ad applicare la formuletta della propagazione
dell'errore? Se non hai altre informazioni a-priori, in genere, e'
quella la formula piu' appropriata anche se sovrastima l'errore.
Non credo che hai modo di giustificare un ottimismo maggiore!

Se utilizzi uno schema semplice di integrazione, sospetto che la
propagazione degli errori coincida con la differenza che citi.

Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca
Elio Fabri
2004-05-18 18:40:31 UTC
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Mi trovo a dover calcolare l'integrale di una serie di dati
sperimentali, ovvero l'area sottesa dalla spezzata che congiunge
questi punti (tipicamente la forma e' gaussianoide ma non posso fare
troppo affidamento su questa affermazione).
I punti hanno un certo errore noto sull'ordinata e un errore
sostanzialmente trascurabile sull'ascissa.
Fin qui nessun problema, trapezi o Simpson e si fa...
Ma l'errore sul valore di integrale ottenuto?!?
Ni sembra semplice...
Non entro sull'adeguatezza o meno del metodo d'integrazione, ma
qualunque sia il metodo che userai, sara' sempre del tipo

I = \sum a_k y_k

dove gli a_k sono coeffcienti caratteristici del metodo, e y_k le
ordinate (dati sperimentali).
Se puoi assumere gli errori sulle y_k come indipendenti, avrai, dalla
propagazione degli errori:

Var(I) = \sum a_k^2 Var(y_k).
------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------
Francesco Daddi
2004-05-18 19:17:48 UTC
Permalink
Chiedo a voi in quanto ho già ricevuto risposte alquanto discordanti...
Mi trovo a dover calcolare l'integrale di una serie di dati sperimentali,
ovvero l'area sottesa dalla spezzata che congiunge questi punti
(tipicamente
la forma e' gaussianoide ma non posso fare troppo affidamento su questa
affermazione). I punti hanno un certo errore noto sull'ordinata e un
errore
sostanzialmente trascurabile sull'ascissa.
Fin qui nessun problema, trapezi o Simpson e si fa...
Ma l'errore sul valore di integrale ottenuto?!? Pensavo di trovare
l'errore
come differenza tra area minima e massima (ovvero sottraendo o aggiungendo
a
tutti i punti l'errore sulla y). Ma mi e' stato giustamente obiettato che
compierei una sovrastima notevole dell'errore (un po' come quando si prova
a
fare un fit di retta con la massima e minima pendenza). Allora mi e' stato
proposto di fare un fit di una polinomiale, ma a questo punto dovrei
decidere a priori di che grado.
Non c'e' una terza via?
Grazie
Lorenzo
Io userei le spline cubiche per approssimare l'integrale.


Francesco Daddi

--------------------------------
Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Peltio
2004-05-18 23:25:30 UTC
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"Loryball" ha scritto
Mi trovo a dover calcolare l'integrale di una serie di dati sperimentali,
ovvero l'area sottesa dalla spezzata che congiunge questi punti
(tipicamente
la forma e' gaussianoide ma non posso fare troppo affidamento su questa
affermazione). I punti hanno un certo errore noto sull'ordinata e un errore
sostanzialmente trascurabile sull'ascissa.
ok, diciamo che eps è il minimo valore per cui, per ogni k, si ha

|f[xk]-yk| <= eps

dove f sarebbe la funzione 'esatta', ed yk sono invece i valori che ottieni
in corrispondenza dei valori pressochè 'esatti' della ascisse (insomma, eps
è l'errore massimo nelle ordinate)
Fin qui nessun problema, trapezi o Simpson e si fa...
Ma l'errore sul valore di integrale ottenuto?!?
Se usi una formula di quadratura in cui tutti i pesi sono positivi (come è
il caso dei trapezi e di Cavalieri-Simpson [1], allora avrai che

|I -Iappr| <= (b-a)*eps

dove (b-a) è l'ampiezza dell'intervallo di integrazione, ed Iapp è
l'integrale numerico calcolato con gli errori sulle ordinate, mentre I
quello che avresti calcolato se le yk fossero state esatte (vaore che di suo
è affetto da un errore che dipende dal metodo).
Allora mi e' stato proposto di fare un fit di una polinomiale,
ma a questo punto dovrei decidere a priori di che grado.
Uhm... "sounds like a lot of work for a small return..." (cit.)
Una volta ho visto fare una cosa del genere, ma in quel caso si voleva
espressamente un polinomio di grado dato come approssimante dei punti
sperimentali.
Potresti comprimere il tuo intervallo su [-1,1] (o trasformare il tuo
dominio di integrazione in [-1,1] e lavorare con la funzione modificata, che
è meglio) e trovare una approssimazione in termini di polinomi di Legendre.
Ossia fai una bella regressione che trovi i coefficienti ck del polinomio di
grado k(quanto vale n? bella domanda... se è una gaussiana hai voglia...) e
relativi errori standard ek che saranno statisticamente indipendenti vista
l'ortogonalità dei polinomi.

p[x] = Sum[(ck ± ek])* Pk[x], {k, 0, n} ]

Poi calcoli l'area integrando questo polinomio, sfruttando la linearità
dell'integrazione e l'indipendenza degli errori. Trovi così sia l'area, sia
l'incertezza che la affligge. Ma tu dici che forse è una gaussiana... Per
cui forse ti serve una base ortogonale di altro tipo (Hermite?)
Non c'e' una terza via?
Ci sarà di sicuro. : )

saluti,
Peltio
[1] Ma povero Cavalieri: lui la formula di quadratura l'ha scoperta almeno
un secolo prima di Simpson!
Daniel
2004-05-19 08:43:32 UTC
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Ma l'errore sul valore di integrale ottenuto?!? Pensavo di trovare l'errore
come differenza tra area minima e massima (ovvero sottraendo o aggiungendo a
tutti i punti l'errore sulla y). Ma mi e' stato giustamente obiettato che
compierei una sovrastima notevole dell'errore (un po' come quando si prova a
fare un fit di retta con la massima e minima pendenza). Allora mi e' stato
proposto di fare un fit di una polinomiale, ma a questo punto dovrei
decidere a priori di che grado.
Come al solito ognuno dice la sua ma sono d'accordo con una citazione di
Shakespeare che dice qualcosa come "tanto casino per nulla".
Ripeto e Fabri (a parte un quadrato che non mi "quadra") mi sembra
d'accordo con me: se non sai (o vuoi ignorare) altre informazioni sul
legame tra il risultato finale e le misure, la propagazione degli
errori e' il metodo piu' corretto per stimare l'errore. Sovrastima
proprio perche' ignori altre informazioni.
Nel tuo caso, se usi un metodo lineare di integrazione (cosa molto
ragionevole), la propagazione dell'errore da' un errore che e' la META'
(chiedo venia per quanto scritto prima) di quella differenza che avevi
gia' ipotizzato fin dall'inizio.

Se utilizzi dei fits, vuol dire che hai altre informazioni e allora e'
tutta un'altra storia...

Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca
Elio Fabri
2004-05-20 18:48:26 UTC
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Post by Peltio
ok, diciamo che eps è il minimo valore per cui, per ogni k, si ha
|f[xk]-yk| <= eps
dove f sarebbe la funzione 'esatta', ed yk sono invece i valori che
ottieni in corrispondenza dei valori pressochè 'esatti' della ascisse
(insomma, eps è l'errore massimo nelle ordinate)
Mi pareva di aver capito che la domanda fosse come l'incertezza sui
dati si riflette sul'integrale.
Il tuo ragionamento mi pare invece che si riferisca alla stima
dell'errore del metodo d'integrazione: tutt'altra cosa.
Post by Peltio
Ripeto e Fabri (a parte un quadrato che non mi "quadra") mi sembra
d'accordo con me: se non sai (o vuoi ignorare) altre informazioni sul
legame tra il risultato finale e le misure, la propagazione degli
errori e' il metodo piu' corretto per stimare l'errore. Sovrastima
proprio perche' ignori altre informazioni.
Perche' non ti quadra il quadrato? Io ho scritto la formula della
varianza!
Post by Peltio
Se utilizzi dei fits, vuol dire che hai altre informazioni e allora e'
tutta un'altra storia...
D'accordo. In quel caso nel fit ci saranno dei parametri, e dal
procedimento di fit si ricavera' la matrice di covarianza dei
parametri.
Poi si puo' calcolare l'integrale della funzione, che contiene ancora
i parametri, e si puo' propagare l'errore sull'integrale (tenendo conto
che i parametri *non sono* indipendenti: la matrice di cov. non sara'
diagonale, di regola).


------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------

X-Moz
Peltio
2004-05-20 21:51:04 UTC
Permalink
"Elio Fabri" ha scritto
Post by Elio Fabri
Post by Peltio
ok, diciamo che eps è il minimo valore per cui, per ogni k, si ha
|f[xk]-yk| <= eps
dove f sarebbe la funzione 'esatta', ed yk sono invece i valori che
ottieni in corrispondenza dei valori pressochè 'esatti' della ascisse
(insomma, eps è l'errore massimo nelle ordinate)
Mi pareva di aver capito che la domanda fosse come l'incertezza sui
dati si riflette sul'integrale.
Si, credevo anch'io di aver capito quello.
Post by Elio Fabri
Il tuo ragionamento mi pare invece che si riferisca alla stima
Perchè? Io vedo in che modo la massima incertezza sui dati (sulle ordinate,
per essere precisi) si riflette nell'incertezza dell'area calcolata rispetto
all'integrale numerico con i dati esatti.

Il discorso dell'errore del metodo di integrazione è poi un altro. In ascii
purtroppo è un problema mettere barre o tilde sopra le lettere per cui ho
usato una notazione forse fuorviante. Ora la cambio leggermente
Sia f[x] la funzione integranda.
Sia I[f] l'integrale esatto della funzione su [a,b]
Sia Tn[f] l'integrale numerico calcolato ad esempio con il metodo dei
trapezi utilizzando i valori esatti di f (senza nemmeno errori di
arrotondamendo) in corrispondenza degli n punti di suddivisione
dell'intervallo [a,b]. (prima l'avevo chiamato I[f]).
L'errore del metodo di integrazione è:

I[f] - Tn[f] = (b-a)/12 h^2 f''[chi]

ove h è il passo di integrazione che presuppongo costante e 'chi' è un
opportuno punto dell'intervallo [a,b]. Lasciamo perdere eventuali
maggiorazioni o stime o estrapolazioni. Era giusto per esplicitare
ciò cui mi riferisco.

Se invece dei valori esatti di f uso dei valori approssimati fappr (per via
dell'errore sperimentale, dell'errore di calcolo della funzione f, o per il
semplice errore di arrotondamendo dovuto all'uso di una precisione macchina
finita) dalla procedura numerica (già di per se inesatta) ottengo un altro
valore, che chiamerò Tn[fappr] (prima l'avevo chiamato Iappr). Questo valore
differisce dal risultato della quadratura Tn[f] al più per (b-a)*massima
incertezza sui valori di y.

|f-fappr| <= eps
|Tn[f]-Tn[fappr]| <= (b-a)*eps

E' un modo rapido (ma forse troppo grossolano) per stimare in che modo
l'incertezza sui valori di f si traduce in un incertezza sul valore
(inesatto) calcolato. Sostanzialmente considera il caso pessimo in cui tutti
i punti manifestino il massimo errore possibile. E vale per il metodo dei
trapezi, per il metodo di Simpson e per tutti i metodi con grado di
precisone >=1 e pesi positivi.

Poi bisogna mettere in conto l'errore precedente, quello del metodo
di integrazione, che dipende dal grado di precisione della particolare
formula di quadratura usata.

Usare la propagazione degli errori fornisce di sicuro una stima meno
pessimistica, ma viene a costare da un punto di vista computazionale più
dell'integrale stesso credo (è l'unico difetto che mi è riuscito di trovare
al metodo da te suggerito : ))) ).

Forse non ho capito bene la domanda dell'OP?
Sono gradite critiche e commenti.

saluti,
Peltio
Peltio
2004-05-22 23:54:42 UTC
Permalink
"Peltio" ha scritto
Post by Peltio
I[f] - Tn[f] = (b-a)/12 h^2 f''[chi]
Uff...
Mi sono perso il segno meno per strada, qui. E' chiaramente

I[f] - Tn[f] = - (b-a)/12 h^2 f''[chi]

visto che l'area sottesa da una funzione concava viene sovrastimata e,
viceversa quella di una funzione convessa viene sottostimata.
Ho fatto due conti con un integrale banale: quello del seno tra 0 ed 1

Il risultato esatto è
I = 0.459697694131860...
Il risultato della formula di quadratura con h=0.01 e i valori della
funzione seno esatti nei limiti della precisione macchina è
Tn = 0.4596938633113578...
L'errore del metodo (che comprende anche l'errore di troncamento a 16 cifre,
a dire il vero) è quindi
|I-Tn| = 3.8 x 10^-6.
La stima considerando un valore massimo per la derivata seconda pari a 1 (si
potrebbe fare di meglio) è di poco più del doppio:
8.3 x 10^-6

Se poi integriamo la funzione con degli errori casuali di modulo massimo
pari a 0.05 (err=0.05(rnd - 1/2)) (con rnd numero casuale compreso tra 0 e
1), uno dei risultati che si può ottenere è
Tnappr = 0.4431661573039723...
che differisce dalla quadratura numerica sui valori 'esatti' di f per
|Tn-Tnappr| = 0.016528...
contro gli
0.05.
(poco più del triplo) previsti dalla relazione |Tn-Tnappr|<=(b-a)Max[err].
L'errore rispetto al valore esatto dell'integrale è chiaramente dominato
dall'effetto degli errori sui valori di f (per forza, li ho scelti enormi
: ) ):
|I-Tnappr| = 0.016531...

saluti,
Peltio
Elio Fabri
2004-05-25 18:13:58 UTC
Permalink
May 25 20:13:58 2004
User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; U; Linux i686; en-US; rv:1.4) Gecko/20030624
X-Accept-Language: it, en-us, en
Post by Peltio
Mi sono perso il segno meno per strada, qui. E' chiaramente
I[f] - Tn[f] = - (b-a)/12 h^2 f''[chi]
visto che l'area sottesa da una funzione concava viene sovrastimata e,
viceversa quella di una funzione convessa viene sottostimata.
Il problema e' che se stai integrando una funzione "empirica" non hai
nessun modo di stimare f".
E comunque ripeto che a mio parere la domanda non era quella.
Post by Peltio
...
Se poi integriamo la funzione con degli errori casuali di modulo
massimo pari a 0.05 (err=0.05(rnd - 1/2)) (con rnd numero casuale
compreso tra 0 e 1), uno dei risultati che si può ottenere è
Tnappr = 0.4431661573039723...
che differisce dalla quadratura numerica sui valori 'esatti' di f per
|Tn-Tnappr| = 0.016528...
contro gli
0.05.
(poco più del triplo) previsti dalla relazione
|Tn-Tnappr|<=(b-a)Max[err].
Tanto per completezza, avresti potuto calcolare anche la varianza che
avevo dato io.

------------------------------
Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
------------------------------
Peltio
2004-05-30 15:54:30 UTC
Permalink
"Elio Fabri" ha scritto
Post by Elio Fabri
Tanto per completezza, avresti potuto calcolare anche la varianza che
avevo dato io.
E' stato solo per pigrizia che non l'ho fatto : )
Per l'integrazione 'tradizionale' avevo la procedura precotta e non
dovevo generare dei dati con annessa varianza. Allora, ho fatto così:
Ho scritto la procedurina che fa più o meno cosi:

h^2*( Sum[yk^2,{k,1,n}] - 3/4(y1^2+ yn^2))

E ho creato i dati in questo modo: per ogni punto yk=f[xk] genero
cinque misure fj distribuite normalmente con deviazione standard
0.01 attorno al valore esatto yk. Di questi valori calcolo
yapprk= Sum[fj, {j,1,5}]/5
dk=(max - min)/2
sk=Sqrt[ Sum[(fj-yapprk)^2, {j,1,5}]/(5-1) ]
Il dk lo voglio usare come surrogato dell'errore massimo per un confronto
con la propagazione dell'errore con l'artimetica degli intervalli.
Il valori medio e massimo di dk e di sk su tutte le 100 quintine di valori
sono dati, rispettivamente, da:
d=0.012 dmax = 0.023
s=0.097 smax = 0.018

La funzione è Sin[x] e l'integrale tra zero e 1.
Gli integrali sono
0.459697694131 (Int, esatto)
0.459693863311 (Tn, trapezi su valori esatti)
0.459219509435 (Tnappr, trapezi su valori approssimati)

Gli errori rispetto all'integrale esatto mostrano che il metodo di
integrazione con h=0.01 incide poco rispetto agli errori nelle 'misure'.
3.83082 10^-6 (Int-Tn)
474.353 10^-6 (Tn-Tnappr)
478.185 10^-6 (Int-Tnappr)

Passiamo alle stime dell'errore. La migliore è ovviamente quella basata
sulla propagazione della varianza. Se prendiamo per buona le dk come errore
massimo associate ad ogni cinquina (cosa non proprio vera vista che la media
non sempre sta in mezzo), possiamo usarli per calcolare la propagazione
dell'errore massimo con l'aritmetica degli intervalli e prendere dmax come
massimo errore per calcolare la stima grossolana (b-a)*dmax

Ho trovato i seguenti valori per le stime
2.34502 10^-2 (massimo errore a tutti i punti)
1.21579 10^-2 (massimo errore 'punto per punto')
0.10192 10^-2 (errore standard, prop. varianza)
0.30576 10^-2 (stima 'six-sigma' dell'intervallo)
L'ultimo valore è il triplo della deviazione standard trovata. Dovrebbe
essere il valore con cui comparare le stime riferite agli intervalli che vi
stanno sopra (anche se per il loro calcolo ho barato un po' usando i dk)
Post by Elio Fabri
E comunque ripeto che a mio parere la domanda non era quella.
Io vedo i tre calcoli come tre diverse stime della stessa quantità, ossia
l'incertezza nel risultato dovuto alla propagazione dell'errore nei
dati (yk) nella sommatoria che rappresenta l'integrale numerico.

Nel primo caso considero il caso peggiore possibile: il valore yapprk
dista dal valore esatto la bellezza di metà del massimo range riscontrato
in tutte le cinquine. Risolvo tutto con una sola moltiplicazione, ma ottengo
una stima molto rozza e decisamente in eccesso.
Nel secondo caso considero un po' meno di sfortuna, ossia che il valore
yapprk disti dal valore esatto yk metà del range associato alla cinquina
k-esima. Posso avere errori minori dell'errore massimo, ma ancora li
considero che agiscono nello stesso senso.
Nel caso della propagazione della varianza considero un errore probabile
che tiene conto delle possibili compensazioni per via della distribuzione
un po' per eccesso e un po' per difetto.

Sull'altra questione faccio un post a parte.
Mi è venuto un dubbio filosofico.

saluti,
Peltio
Peltio
2004-06-01 00:23:11 UTC
Permalink
"Elio Fabri" ha scritto
Post by Elio Fabri
Post by Peltio
I[f] - Tn[f] = - (b-a)/12 h^2 f''[chi]
Il problema e' che se stai integrando una funzione "empirica" non hai
nessun modo di stimare f".
Io quella formula l'avevo data solo per distinguere l'errore dovuto al
metodo numerico (ossia al fatto che sto integrando un polinomio interpolante
lineare a tratti invece della funzione - qualunque essa sia) da quello
dovuto agli errori sui dati.
Ma questa tua osservazione mi fa sorgere un dubbio di carattere filosofico.
Non ho più il post dell'OP e non ricordo a che tipo di grandezza fisica (se
continua, discreta, un conteggio, o che altro) si riferisse la misura per
cui perdonami se la tua osservazione si riferiva ad altro.

Il dubbio che ho ora è questo:

quando una serie di misure si riferisce a una grandezza fisica
continua si può assumere che 'alle spalle' delle misure ci sia
una funzione continua che descrive il 'valore esatto' della
grandezza, cui poi vengono sommati gli errori di vario genere?

Perchè se la grandezza fisica si comporta con una certa regolarità (non ha
discontinuità, cuspidi eccetera), ossia si può ipotizzare una sua
appartenenza a Cn per un certo n sull'intervallo di integrazione, posso
utilizzare la formula
I[f] - Tn[f] = - (b-a)/12 h^2 f''[chi]
e anche andarmi a cercare una stima asintotica in base a
|I[f] - Tn[f]| ~ h/12 |f'[b]-f'[a]|
Ora il problema (grosso, è vero) sta nello stimare la derivata agli estremi.
Anzi no. Il problema sta nello stimare l'errore della derivata numerica che
si sa richiede a sua volta informazioni sulla derivata successiva, è molto
sensibile all'incertezza sui dati e al decrescere del passo h sotto il
valore ottimale. Per avere un'idea di massima si potrebbe vedere come cambia
il valore computato quando considero i dati agli estremi dei rispettivi
range.


ESEMPIO (lunghetto)
==================
Nel caso della funzione seno dell'esempio di integrazione si ottiene una
stima rozzissima purtroppo, in quanto l'errore in corrispondenza dello 0 si
fa parecchio sentire. Ma ho anche generato dati con una incertezza fissa e
tutt'altro che trascurabile. I valori di yapprk, dk e sk per i primi e
ultimi quattro punti sono

0.000768, 0.012103, 0.009572
0.018631. 0.013390, 0.013291
0.01635, 0.013735, 0.010971
0.033303, 0.013334, 0.010425
...
0.821439, 0.011254, 0.008542
0.830764, 0.013689, 0.010583
0.834993, 0.008729, 0.006793
0.839114, 0.007852, 0.005627

Uso la formula più semplice a due punti per cercare una stima della derivata
prima. Anche prendendo un passo h = 0.03 (il primo e il quarto punto), la
derivata prima all'estremo a è quasi ignota. Può spaziare tra
((0.033303 - 0.013334) - (0.000768 + 0.012103)) / 0.03= 0.24
((0.033303+0.013334) - (0.000768-0.012103)) / 0.03= 1.93
la media è 0.845 (il valore esatto è 1)

La derivata (all'indietro) all'estremo b varia tra i seguenti valori
(paura):
((0.839114 - 0.007852) - (0.821439 + 0.011254)) / 0.03 = -0.05
((0.839114 + 0.007852) - (0.821439 - 0.011254)) / 0.03 = 1.23
la media è 0.64 (il valore esatto è cos[1]= 0.54)

Del resto con h= 0.03 e d= 0.01 c'era da attendersi un errore di derivazione
_minimo_ (dovuto all'incertezza sui dati) di 0.01/0.03 pari a d/h= 1/3.
Con questi dati, per quanto poco precisi (da vergognarcisi), possiamo dare
una stima dell'errore di integrazione
h/12 |f'[b]-f'[a]|=0.01/12 (1.23-0.24) = 0.000825 = 0.825 10^-3
contro il valore asintotico teorico di
0.01/12 |0.54-1| = 0.000383 = 0.383 10^-3
Entrambi questi valori sono comunque eccessivamente pessimistici, visto che
la stima basata sulla massima derivata seconda (1,per eccesso) fornisce
(b-a)/12 h^2 |f''[chi]|<=0.000008 = 0.008 10^-3
e l'errore effettivamente calcolato rispetto all'integrale con i valori
esatti yk vale:
|I[f]-Tn[f]|=0.000004 = 0.004 10^-3
(ed è sotto tutte le stime fatte).

Questo esempio in particolare è forse un caso in cui l'errore nei dati era
un po' eccessivo (circa il 10% mi pare all'estremo b ma esagerato per valori
bassi di x). Ma in generale su funzioni più serie con errori dell'ordine
dell'1 o 2%, così come è possibile calcolare un integrale di dati empirici
dovrebbe essere possibile calcolare anche una derivata, o no?
A meno di non avere un h troppo piccolo e un errore sui dati troppo grande
una stima a quattro punti della derivata prima potrebbe fornire una stima
adatta ad essere maggiorata per determinare l'errore di integrazione.
O sto fantasticando troppo?

saluti,
Peltio

Daniel
2004-05-24 10:42:56 UTC
Permalink
Post by Elio Fabri
Perche' non ti quadra il quadrato? Io ho scritto la formula della
varianza!
Non mi quadrava perche' sono rimbambito... capita dopo una certa eta'.

Daniele Fua'
Uni. Milano-Bicocca
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