Post by OmigaGrazie a tutti per la risposta, scusatemi per il ritardo.
Provo a scrivere ciò che ho capito.
La possibilità di definire un'energiamagnetica è legata alla legge di
Faraday-Lenz. Ciò che dice Tesis citando Feynman e Landau è
sostanzialmente quello di dire se io mi scrivessi la lagrangiana del
campo elettromagnetico affinchè sia conservata l'energiaci dev'essere
un termine dienergiamagnetica che (permettimi di dire ciò Tesis)
controbilancia il termine di impulso generalizzato dovuto al
potenziale vettore, ma comunque sostanzialmente questaenergia
magnetica è sempre riconducibile a una elettrica tenendo conto della
legge di faraday-lenz.
Rimanendo nel merito della tua osservazione che ho letto più e più
volte, quello che mi lasciava perplesso è l'ordine logico delle tue
espressione: tu parli di scrivere la lagrangiana del campo
elettromagnetico affinché sia conservata l'energia.
La ragione della perplessità essendo che in verità è più immediato
scrivere la lagrangiana in modo che, date le equazioni di Eulero
Lagrange le equazioni del moto siano quelle fenomenologiche, non si dà
per scontato a priori che l'energia sia conservata, anzi è il teorema
di Noether a garantire che se la lagrangiana non dipende dal tempo la
funzione di Hamilton associata è conservata.
Si può anche procedere, tuttavia, nell'ordine implicito nelle tue
parole. Si può cioè cercare una hamiltoniana indipendente dal tempo
che dia luogo alle equazioni del moto, questa funzione di Hamilton
risulta conservata e tramite la trasformata di Legendre si può
risalire alla funzione di Lagrange per le considerazioni del caso.
Nel caso di un sistema di cariche immerse in un campo magnetico
esterno, delle quali si possa trascurare l'irraggiamento, a conti
fatti si vede che la funzione di Hamilton associata non è altro che
l'energia cinetica totale, ma a differenza dal caso delle classiche
forze conservative, anche se dipende solo dall'energia cinetica, non è
uguale alla funzione di Lagrange. Vediamo di chiarire il perché.
In termini delle quantità di moto delle singole particelle, che
indichiamo con p, la funzione di Hamilton risulta proporzionale alla
somma di termini p^2 / 2m dove p = mv. Ad ogni modo l'impulso
generalizzato che corrisponde a queste particelle non è uguale alla
quantità di moto p, ma risulta pari a \pigreco = (p + eA), ora se
intendevi dire questo quando scrivevi che c'è un termine di energia
magnetica che controbilancia il termine di impulso generalizzato è
quello che intendevo anch'io quando scrivevo che risulta
immediatamente che ciascun contributo p^2/2m = (\pigreco-eA)^2/2m è
una costante del moto perché la sua parentesi di Poisson con
l'hamiltoniana è nulla in quanto somma di parentesi di Poisson che
riguardano variabili indipendenti, o perché sono la parentesi di
Poisson di due termini eguali, che è quanto dire che l'energia
cinetica del sistema è conservata.
Per quanto riguarda la parentesi di Poisson di p= \pigreco-eA con
l'hamiltoniana non è conservata, ma il vettore che ne risulta è
ortogonale a \pigreco-eA/c.
Quindi lo schema hamiltoniano traduce ancora una volta l'evidenza
empirica che le forze associate ad un campo magnetico non fanno lavoro
sulle cariche in movimento. E porta con se che la quantità di moto
consta di due parti una dipendente solo dall'impulso generalizzato
l'altra dipendente solo dalle coordinate generalizzate (che nel nostro
caso coincidono con le coordinate euclidee dello spazio), di riflesso
l'energia cinetica consta di tre termini:
uno dipende solo dall'impulso generalizzato (il quadrato
dell'impulso), uno solo dalle coordinate (il quadrato del potenziale
vettore) ed un terzo è un prodotto scalare nell'impulso e nel
potenziale vettore.
La funzione di Lagrange associata è, in termini della quantità di
moto:
(p+eA)^2/2m - (eA)^2 = p^2/2m + eAp/(m)
quindi nella funzione di Lagrange la parte di energia cinetica risulta
"corretta" da una funzione "potenziale" che dipende dalla velocità, a
questo potenziale si da il nome di potenziale generalizzato. Questa è
la lagrangiana che per esempio Landau deriva dall'espressione
dell'azione relativistica (non giustificata) e questo intendevo
dicendo che: è implicito in Landau che c'è un energia potenziale
generalizzata che dipende dalle velocità.
Osserviamo che non abbiamo ancora incluso l'interazione fra le cariche
e le correnti, o più precisamente, che non abbiamo affatto considerato
né il ruolo delle cariche e delle correnti quali sorgenti dei campi
elettromagnetici, né il modo in cui si connettono le variazioni dei
campi, ma sulla base degli esempi che ho illustrato nella risposta
precedente è già possibile intravedere che solo la considerazione
completa di tutti questi fenomeni in uno schema unitario, garantisce
la coerenza logica con tutti i principi fisici fondamentali: principio
di equivalenza e principi di conservazione.
"" Questo è quello che intendevo quando scrivevo: infatti la forza di
Lorentz non deriva dalla conservazione di una energia potenziale, ma
deriva da una estenzione del principio di conservazione dell'energia
(con l'introduzione di un termine lagrangiano dipendente dalla
velocità) la cui piena coerenza può essere garantita solo
dall'introduzione di una energia associata al campo elettromagnetico.
Sempre il libro di Jackson infatti, nel capitolo successivo, deduce
l'esistenza del termine di spostamento, dalla equazione di continuità.
""
Se non ci interessiamo per il momento di questi aspetti secondari e
restringiamo l'attenzione alla legge di Faraday, nel caso
stazionario, cioè di campi magnetici costanti, allorché dipende solo
dalla deformazione del circuito, possiamo dire che essa discende in
modo abbastanza semplice da una rappresentazione delle correnti come
cariche scalari in movimento senza bisogno di molto altro che della
legge di Lorentz, (a patto di tralasciare, di primo acchito le sottili
questioni che riguardano l'interpretazione dei fenomeni "dal punto di
vista delle cariche in movimento" ovvero più precisamente le questioni
legate ai cambiamenti di riferimento). In quanto per mantenere
costante la corrente è necessario applicare un differenziale di
potenziale in accordo alla legge di Faraday, lo stesso si ha quando
siano i campi magnetici a variare ed il circuito a rimanere fisso,
cioè la legge di Faraday è piuttosto solida e vera in molteplici
situazioni diversissime fra loro, perciò viene utilizzata per definire
l'energia potenziale di un sistema di correnti, e l'energia associata
al campo magnetico.
Un altro sistema che possiamo considerare è una piccola variante di
quello suggerito da Proietti: un anello rigido carico in moto in un
piano. Per questo sistema la funzione di Lagrange assume, con un poco
di algebra la forma piuttosto semplice:
MV^2/2 + I\omega^2/2 + Q V.A + Q/(2pi) flusso(B).\omega.
la ragione di ciò deriva semplicemente dall'osservazione che A.V lungo
l'anello può essere trascritta come A. (\omega r). L'hamiltoniana che
corrisponde a questa funzione di Lagrange è come di consueto l'energia
cinetica totale che come ci aspettiamo è costante del moto e dove,
nell'espressione delle quantità di moto compare il solito termine
dipendente dal potenziale vettore che "controbilancia" l'impulso
generalizzato.
Questi due casi esemplificano quello che intendevo scrivendo:
" L'essenziale che rimane un poco nello sfondo è il fatto che i campi
elettrici possono essere ancora visti come campi conservativi
derivanti da un potenziale che dipende solo dalle posizioni delle
cariche e non dalle loro velocità, i campi magnetici no, devono essere
visti come campi
rivelati dalle forze lorentziane, dalla legge di induzione di Faraday,
e confermate indirettamente dalla legge di Amperé, ma che richiedono
un potenziale generalizzato per accordarsi con il teorema di
conservazione dell'energia. La conseguenza di questo teorema generale
di conservazione è il termine magnetico dovuto sottilmente al fatto
che variazioni del campo magnetico comportano variazioni del campo
elettrico. "
cioè si possono seguire diverse strade per arrivare alla funzione di
Lagrange che in questo caso abbiamo ottenuto come proponevi tu dal
teorema di conservazione dell'energia cinetica inventando un impulso
generalizzato ed un termine dipendente dal potenziale vettore in
accordo con la legge di Lorentz. Quando si prendono in considerazione
gli impulsi e l'energia associati al campo elettromagnetico è ancora
questa forma lagrangiana dell'interazione fra i campi e la materia che
deve essere presa in considerazione (nella sua forma covariante), ma
in più la funzione di Lagrange deve riprodurre le equazioni di
Maxwell, in questo modo può essere dimostrato il teorema generale di
conservazione dell'energia impulso introducendo il tensore canonico
dell'elettrodinamica nel vuoto in presenza di sorgenti elementari.
Va osservato che la teoria classica delle sollecitazioni
elettromagnetiche sulla materia è un argomento ben lungi dall'essere
esaurita e compresa, in uno schema del genere.
Anche considerando tutta la fenomenologia classica, osserva Landau,
la teoria relativistica rende molto difficile l'introduzione del
concetto di interazione non puntiforme, sebbene nella meccanica
quantistica la situazione cambi sostanzialmente. La teoria quantistica
relativistica garantisce un ulteriore guadagno di coerenza: infatti
permette di considerare unitariamente tanto il campo elettromagnetico
quanto il campo delle particelle materiali.
La teoria relativistica classica procede sulla falsa riga della
presentazione che abbiamo qui delineato, ma conduce alla fine ad una
semplificazione molto considerevole, che per Landau è il punto di
partenza (non giustificato) ovvero l'azione di una particella scalare
in un campo elettromagnetico consta di due termini, uno è l'integrale
d'azione della particella libera, l'altro è l'integrale d'azione del
potenziale scalare A che è una forma differenziale. Questo modo di
partire è comune all'interpretazione geometrica della elettrodinamica
classica.
Per comprendere in modo più quantitativo come si stabilisce la
connessione fra la variazione del flusso e la variazione della
corrente c'è un esercizio molto semplice la cui importanza viene
spesso sottovalutata e si tratta dell'osservazione seguente: un
particella carica in moto in un campo magnetico uniforme ortogonale al
piano di moto effettua, in assenza di ulteriori vincoli esterni, dei
moti circolari chiusi, queste rotazioni impiegano un tempo
indipendente dalla velocità iniziale, la frequenza delle rotazioni si
esprime: eb/mc, dove b è il campo magnetico, e la carica, m la massa,
c la velocità della luce. In altre parole tb è un invariante.
Un'altra cosa da tenere sempre presente è che l'integrale lungo un
circuito chiuso del potenziale vettore è uguale al flusso del campo
magnetico attraverso la superficie racchiusa da questo circuito.
La combinazione di questi due ingredienti è essenzialmente alla base
della trattazione statistica dei sistemi elettrodinamici classici che
per esempio non permette di comprendere il ferromagnetismo (teorema di
Liouville se non erro), mentre comprende bene il diamagnetismo. La
teoria microscopica del ferromagnetismo, ritorna coerente con lo
schema classica che abbiamo qui accennato, e ne diventa un'estensione
nel contesto della teoria quantistica relativistica. E' questa
circostanza, in parte, che rende conto del motivo per cui il tensore
degli sforzi di Maxwell ed il tensore degli sforzi di Helmoltz per la
parte magnetica siano in generale molto più complicati di quanto non
sia il tensore degli sforzi per la parte elettrica (si trova una
derivazione, in un caso particolare, di questo tensore degli sforzi,
in presenza di ferromagnetismo, nel libro di Becker).
E' la possibilità di introdurre un tensore degli sforzi garantisce di
per se, teorema della divergenza, che un sistema soggetto a campi
elettromagnetici statici generati dal sistema stesso non risulti
soggetto a forze totali e momenti angolari totali non nulli.
Storicamente l'energia magnetica è stata introdotta nello studio dei
sistemi ferromagnetici (ed è a questa tradizione che si ricollega
Becker nel capitolo dedicato all'energia magnetica) per dedurre le
condizioni di equilibrio per sistemi isolati.