Post by Mino Saccone...
E' evidente quindi che un condensatore PIANO, visto da lontano, da
distanze quindi rispetto a cui le dimensioni del condensatore stesso
sono trascurabili, e' assimilabile a una coppia di cariche a distanza
infinitesima tra loro.
Posso fare un'aggiunta, che del resto e' lo sviluppo naturale del
discorso sulle armoniche sferiche.
Predi un qualsiasi sistema di cariche, discrete o continue, che
occupano una regione limitata di spazio.
Calcola il potenziale prodotto da questa regione in un punto generico.
Per la precisione, se O e' un'origine (che prendiamo interna alla
regione occupata dalle cariche, perche' cosi' conviene); se P e' il
punto dove calcoliamo il potenziale, e P' il punto generico della
distribuzione di cariche, posto
R = OP (vettore)
r = OP' (vettore)
avremo
V(P) = \int \rho(r) dr / |R-r|.
Ovviamente V --> 0 quando P va all'infinito; possiamo quindi provare a
sviluppare V(P) in serie di 1/|R|.
Il risultato lo do senza calcoli: il primo termine della serie e'
Q/|R|, essendo Q la carica totale, ossia il potenziale che si avrebbe
se tutta la carica si trovasse concentrata in O.
Il secondo termine ha la forma (p.R)/|R|^3, dove il vettore p e'
definito come
p = \int r \rho(r) dr
ossia non e' che il momento di dipolo.
I termini successivi non li scrivo, ma te li immagini: si ottiene un
potenziale di quadrupolo, 8-polo, ecc.
I corrispondenti momenti li abbiamo gia' visti, e al posto di
(p.R)/|R|^3 figurano le armoniche sferiche di ordine n, divise per
|R|^(n+1) (n=1 per il dipolo, ecc.)
Tutto questo e' molto impreciso, ma penso basti a farti vedere i
doppio ruolo delle armoniche sferiche:
a) entrano nella definizione dei momenti di multipolo
b) danno la distribuzione angolare del potenziale di ogni multipolo.
Ora veniamo al condensatore.
Per definizione Q=0, quindi il primo temrine non nullo e' il dipolo.
I termini successivi vanno come potenze di 1/|R| con esponente piu;
alto, quindi riescono trascurabili a patto di mettersi abbastanza
lontano.
Ecco dimostrato quello che chiedevi: un condensatore a distanza
produce lo stesso campo di un semplice dipolo.
Esercizio: dato che la formula del momento di dipolo la sapevi gia',
calcola il momento di dipolo di un condensatore piano, che ha armature
circolari la cui distanza e' d e portano una carica +/-q.
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Elio Fabri