La mela cade dall'albero...

Elio Fabri

2023-01-30 13:17:49 UTC

"La materia dice allo spazio come curvarsi;
lo spazio dice alla materia come muoversi."
Con queste parole Wheeler sintetizzava la "Teoria della Relatività
Generale" di Einstein.

Voglio cominciare da qui: anche questa frase, molto popolare perché
sembra (come dici tu) un'efficace sintesi della RG, è in realtà una
trappola, perché chi la legge *crede* di capire, ma in realtà *non
può* capire, a meno che non sia Wheeler o almeno uno studente che si
sta addentrando nella materia, e capirà in seguito.
Tra l'altro c'è anche un errore, che non so perché Wheeler non abbia
evitato.
Non doveva dire "lo spazio" ma "lo spazio-tempo".
Non mi sogno neppure di pensare che Wheeler non sapesse che scrivere
"lo spazio" era sbagliato, eppure ha deciso così. Non so spiegarlo.
Vedrai nel seguito che se mi sono soffermato su questa piccola frase
c'è una ragione...

Domanda : ora che si parli di luce o della luna che gira intorno
alla Terra o della Terra che gira attorno al Sole, <mi sembra> di
capire che non c'è una forza di gravità responsabile dei percorsi
seguiti dalla luce, Luna e pianeti, ma è la struttura metrica
-curva- dello spaziotempo che indica alla materia come muoversi
(riprendendo Wheeler..).

La domanda non è ancora arrivata, ma intanto posso fare un commento.
Va tenuta presente un curiosa analogia tra la RG e la MQ; analogia che
reputo puramente casuale.

In MQ, spec. a livello divulgativo, il principio d'indeterminazione
occupa un posto esorbitante (e viene tropo spesso enunciato in modo
improprio).
Troppo di rado viene ricordato che si tratta in realtà non di un
principio ma di un teorema (BTW l'ha ricordato di recente Giorgio
Pastore).

Col principio della geodetica (PG) capita qualcosa di molto simile,
anche se meno ampiamente diffuso: viene enunciato quasi sempre come
principio base, e si dimentica troppo spesso di ricordare che anche
lui è un teorema, tra l'altro valido in un caso limite: per un corpo
di massa trascurabile rispetto agli altri corpi presenti e di
dimensioni trascurabili rispetto a quelle rilevanti per il problema.
(Caso estremo opposto: se hai una binaria stretta, per es. formata da
due stelle di neutroni a poche decine di km l'una dall'altra, te lo
saluto il PG...)
Nota bene: anch'io ho fatto ampiamente uso del PG, anche nei corsi
universitari, e tra l'altro non ho mai dato la dim. del teorema, che non
è semplice e a essere onesti non ho mai studiato.
La cosa non mi pare scorretta, se uno dichiara i limiti di validità e
si mantiene dentro quei limiti.

Ripetendo,tutti questi corpi viaggiano nello spaziotempo e seguono
un percorso più o meno curvo dovuto alla materia circostante.

Solo su queste due righe ci sono diverse cose da dire.
Per cominciare, non è corretto dire che qualcosa "viaggia nello
spazio-tempo".

Presa alla lettera questa frase dovrebbe significare che quel qualcosa
prima si trova in un certo punto dello spazio-tempo, poi si trova in
un altro. Ciò è sicuramente corretto se dico che un oggetto "viaggia
nello spazio", perché io posso usare il tempo come parametro esterno e
metterlo come "etichetta" nei diversi punti della traiettoria. Ma
nello spazio-tempo i punti contengono sia l'informazione spaziale sia
quella temporale (sono *eventi*) quindi non ha senso aggiungere
l'etichetta.
Una curva nello spazio-tempo contiene *tutta la storia* del corpo e
non c'è altro da dire.

Nota bene che questa non è una critica personale: si tratta di un
errore estremamente diffuso, e non posso escludere di esserci cascato
qualche volta anch'io.
La ragione è semplicemente che *non abbiamo le parole* per descrivere
lo spazio-tempo. Ogni volta che ci proviamo non possiamo fare a meno
di commettere qualche "abuso". E questi abusi non sono innocui, perché
entrano a far parte del nostro modo di pensare, abituandoci quindi a
una visione errata della situazione.
Dunque non c'è rimedio? Certo che c'è: consiste nell'attenersi al
linguaggio matematico, che è costruito in modo di poter descrivere
rigorosamente qualsiasi concetto che ammetta una trattazione
matematica.

Ancora sulle due righe incriminate ;)
Tu scrivi "un percorso più o meno curvo".
E anche questo è sbagliato.
Lo sbaglio dipende dal fatto che non hai familiarità con gli spazi non
euclidei e quindi non sai usare correttamente l'aggettivo "curvo".

In uno spazio euclideo (pensiamo al caso più semplice: un piano)
esistono le rette, che si distinguono tra tutte le possibili linee
appunto per non essere curve.
E si può fare di più: data una qualsiasi linea, per es. una parabola, è
possibile costruire il concetto di curvatura, si può definire punto
per punto il suo raggio di curvatura. Si possono definire in
particolare le curve a curvatura costante, che sono ovviamente le
circonferenze.

Si può fare lo stesso in uno spazio non euclideo?
Risposta: sì, con opportune precauzioni.
Non posso spiegare senza farla lunga, e mi limito a ricordare che
occorre prima definire le geodetiche, che prendono il posto delle
rette della geometria euclidea.
Ciò fatto, le geodetiche hanno curvatura nulla per definizione, e ogni
altra curva che non sia una geodetica è curva.
Ma se è così, non ha alcun senso dire che le geodetiche sono curve.

A sua volta Paolo Russo risponde ad af44 (che vede cadere la mela in
linea retta : La linea retta di cui parli e` nello spazio, ma la
traiettoria che devi considerare e` quella nello spazio-tempo
(immagina un grafico a quattro dimensioni in cui uno degli assi e`
quello dei tempi). In assenza di gravita` la traiettoria dello
spazio-tempo (la cosiddetta linea di universo) della mela sarebbe una
linea retta, parallela all'asse del tempo. In presenza di gravita`
questa linea viene curvata: compare una componente di moto spaziale.

E qui anche Paolo Russo ci casca.
Intanto la questione non è presenza o assenza di gravità, ma su questo
non mi soffermo.
Ma soprattutto: gravità o no, in assenza *di altre forze* (per es.
quella del picciolo che trattiene la mela prima che cada) la linea
d'universo è una geodetica dello spazio-tempo (PG).
Per quanto ho detto sopra, le geodetiche *non sono curve*.
Quindi è sbagliato dire che la gravità incurva la linea nello
spazio-tempo.

E per i corpi fermi? come stanno le cose? Mi direte fermi rispetto a
cosa? La Terra crea una deformzione dello spazio tempo, ma la mela
finché resta attaccata all'albero è ferma rispetto alla Terra.
...
Quindi che dire della famosa mela attaccata all'albero e quindi
ferma rispetto all'albero ed alla Terra?
Ma nel primissimo istante da quando si stacca dall'albero ed ancora
non si è messa nell'autostrada dello spaziotempo, e dato che <non>
esiste la gravità come forza, come fa a cadere?
...
Chissà se sono riuscito a spiegarmi..

Ti sei spiegato benissimo :-)
Hai dimostrato di avere idee confuse non sulla RG ma già sulla buona
vecchia meccanica newtoniana.

Immagina un corpo fermo su una superficie priva di attrito.
A un certo istante applichamo una forza che poi resta costante.
Il moto successivo sarà uniformemente accelerato.
Però tu chiedi: sì, ma nel primo istante? Quando il corpo è ancora
fermo? Come fa a mettersi in moto?
Il dimostra che non capisci la distinzione tra velocità e
accelerazione.
*A un dato istante* un corpo può benissimo essere fermo e al tempo
stesso avere accelerazione.

Ora ti racconto come mi guadagnai il 10 in Fisica alla maturità
(1947). Presiedeva la commissione un prof. universitario di Fisica
matematica (si chiamava Lampariello).
Dopo qualche domanda canonica, chiese di poter fare lui una domanda.
Non so dire le parole precise, ma il succo della domanda fu questo.
"Se lancio un sasso verso l'alto, come si muove?"
Io, meravigliato da una domanda così facile:
"Si muove di moto ritardato, fino al punto che la velocità si annulla,
poi ricade."
Prof. L.:
"Giusto. E quando si trova nel punto più alto, quanto vale
l'accelerazione?"
Io (sempre più meravigliato):
"Vale sempre g, verso il basso."
Prof. L:
"Può bastare, vada pure."
(Allora si dava il "lei" ai maturandi... e alla maturità si portava
*tutto* il programma di Fisica)

Solo anni dopo, quando avevo fatto un po' d'esperienza d'esami
universitari (dall'altra parte del tavolo) mi resi conto che
Lampariello sapeva il fatto suo: anche all'esame di Fisica I
all'università, non pochi studenti a quella stessa domanda
rispondevano che nel punto più alto l'accelerazione è zero.

E ora torniamo alla mela, non secondo Newton ma secondo Einstein.
Un sistema di rif. solidale alla superficie terrestre *non è
inerziale*: per questo motivo si sente la gravità.
La mela resta ferma, il che vuol dire che la sua linea d'universo *non
è una geodetica*, perché su di essa agisce una forza da parte del
picciolo.
Quando il picciolo cede, la forza viene a mancare e *da quell'istante*
la linea d'universo della mela diventa una geodetica dello
spazio-tempo (geodetica, quindi non curva: era curva prima).

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Elio Fabri