Elio Fabri
2016-10-10 13:08:50 UTC
Sono impegnato in una lettura accurata del Cap. 9, parte IV del
"Treatise" di Maxwell (prima ed. 1873).
Avrei bisogno di pareri su un'equazione che non mi torna.
Si tratta dell'eq. che M. chiama "della forza meccanica".
Intendo che si tratti della forza agente (per un. di volume) su un
corpo in presenza di campo elettrico e magnetico.
La scrive così
F = jtot x B - rho*grad Psi - m*grad Omega. (*)
In realtà ho trascritto, perché lui usa quaternioni e lettere
gotiche...
Spiego a parole i cambiamenti che ho fatto:
1) Al posto di jtot, M. usa un simbolo "C gotica", che chiama "total
current" e in un'altra equazione è uguagliato a j + @D/@t. Anche
nell'eq. dell'induzione scrive rot H = jtot, e qui OK.
2) Psi sarebbe il potenziale scalare. Dico sarebbe perché M. non usa
questo termine, e non c'è mai un'eq. che lo leghi a E (v. dopo).
3) Quella che ho chiamta m, M. la chiama "magnetic volume-density" e la
uguaglia a div M.
4) Omega è il "potenziale magnetico", che è legato al campo H da
H = - grad Omega (quando H deriva da un potenziale).
Ora spiego che cosa non mi torna.
Premetto che in precedenza questa equazione (o meglio, una che viene
richiamata e ha lo stesso simbolo (C) viene ricavata per un caso
diverso: un conduttore in campo magnetico. Ed è scritta in modo molto
più semplice: F = jxB
Lasciamo stare il termine magnetico. Mi disturbano due cose:
a) Perché ora entra in ballo la corrente di spostamento?
Significherebbe che ci sarà una forza, dovata al campo magnetico,
anche su un dielettrico in campo elettrico variabile nel tempo.
(E anche sul vuoto...)
Potrei accettare un @P/@t, perché questa è una corrente, dovuta al
moto delle cariche di polarizzazione. Ma perché D?
b) Perché la parte elettrica non è scritta semplicemente rho E ?
Qui c'è un problema: che nel secondo volume, dove tratta magnetismo ed
elettromagnetismo, del campo elettrico non c'è traccia.
Mi direte: e allora il potenziale scalare da dove esce?
Ottima domanda: purtroppo la risposta è complicata (colpa di M., non
mia).
M. non usa il campo elettrico, ma si preoccupa di calcolare la "forza
elettromotrice" su un circuito.
Lo fa in un modo che vi suonerà familiare, salvo per il fatto che usa
sistermaticamente il potenziale vettore.
Dimostra che la f.e.m. è la derivata rispetto al tempo della
circuitazione di A (ossia del flusso di B).
La esprime come derivata della circuitazione di un campo vettoriale,
che indica con "E gotico" e scrive vxB - @A/@t - grad Psi.
Per i primi due termini niente da dire; sul terzo, che sarebbe inutile
in quanto ha circuitazione nulla, scrive:
"The terms involving the new quantity Psi are introduced for the sake
of giving generality to the expressions"
delle componenti di "E gotico".
Afferma poi che Psi rappresenta il potenziale elettrico, e che questo
lo troveremo ("we shall find"). Ma io non ho trovato dove questo
sarebbe mostrato.
Mettendo tutto insieme, M. afferma che la "forza elettromotrice" (usa
questo termine anche per "E gotico" è
vxB - @A/@t -grad Psi.
Oggi noi riconosciamo l'espressione E + vxB, e va bene.
Ma allora perché nella (*) non c'è un termine -rho*@A/@t ?
Riassumendo, c'è un termine di troppo e uno che manca.
Verrebbe da pensare che si compensino, ma non ho trovato come.
E quindi chiedo aiuto...
Anche se, a ripensarci, forse chiedo una cosa impossibile :-(
"Treatise" di Maxwell (prima ed. 1873).
Avrei bisogno di pareri su un'equazione che non mi torna.
Si tratta dell'eq. che M. chiama "della forza meccanica".
Intendo che si tratti della forza agente (per un. di volume) su un
corpo in presenza di campo elettrico e magnetico.
La scrive così
F = jtot x B - rho*grad Psi - m*grad Omega. (*)
In realtà ho trascritto, perché lui usa quaternioni e lettere
gotiche...
Spiego a parole i cambiamenti che ho fatto:
1) Al posto di jtot, M. usa un simbolo "C gotica", che chiama "total
current" e in un'altra equazione è uguagliato a j + @D/@t. Anche
nell'eq. dell'induzione scrive rot H = jtot, e qui OK.
2) Psi sarebbe il potenziale scalare. Dico sarebbe perché M. non usa
questo termine, e non c'è mai un'eq. che lo leghi a E (v. dopo).
3) Quella che ho chiamta m, M. la chiama "magnetic volume-density" e la
uguaglia a div M.
4) Omega è il "potenziale magnetico", che è legato al campo H da
H = - grad Omega (quando H deriva da un potenziale).
Ora spiego che cosa non mi torna.
Premetto che in precedenza questa equazione (o meglio, una che viene
richiamata e ha lo stesso simbolo (C) viene ricavata per un caso
diverso: un conduttore in campo magnetico. Ed è scritta in modo molto
più semplice: F = jxB
Lasciamo stare il termine magnetico. Mi disturbano due cose:
a) Perché ora entra in ballo la corrente di spostamento?
Significherebbe che ci sarà una forza, dovata al campo magnetico,
anche su un dielettrico in campo elettrico variabile nel tempo.
(E anche sul vuoto...)
Potrei accettare un @P/@t, perché questa è una corrente, dovuta al
moto delle cariche di polarizzazione. Ma perché D?
b) Perché la parte elettrica non è scritta semplicemente rho E ?
Qui c'è un problema: che nel secondo volume, dove tratta magnetismo ed
elettromagnetismo, del campo elettrico non c'è traccia.
Mi direte: e allora il potenziale scalare da dove esce?
Ottima domanda: purtroppo la risposta è complicata (colpa di M., non
mia).
M. non usa il campo elettrico, ma si preoccupa di calcolare la "forza
elettromotrice" su un circuito.
Lo fa in un modo che vi suonerà familiare, salvo per il fatto che usa
sistermaticamente il potenziale vettore.
Dimostra che la f.e.m. è la derivata rispetto al tempo della
circuitazione di A (ossia del flusso di B).
La esprime come derivata della circuitazione di un campo vettoriale,
che indica con "E gotico" e scrive vxB - @A/@t - grad Psi.
Per i primi due termini niente da dire; sul terzo, che sarebbe inutile
in quanto ha circuitazione nulla, scrive:
"The terms involving the new quantity Psi are introduced for the sake
of giving generality to the expressions"
delle componenti di "E gotico".
Afferma poi che Psi rappresenta il potenziale elettrico, e che questo
lo troveremo ("we shall find"). Ma io non ho trovato dove questo
sarebbe mostrato.
Mettendo tutto insieme, M. afferma che la "forza elettromotrice" (usa
questo termine anche per "E gotico" è
vxB - @A/@t -grad Psi.
Oggi noi riconosciamo l'espressione E + vxB, e va bene.
Ma allora perché nella (*) non c'è un termine -rho*@A/@t ?
Riassumendo, c'è un termine di troppo e uno che manca.
Verrebbe da pensare che si compensino, ma non ho trovato come.
E quindi chiedo aiuto...
Anche se, a ripensarci, forse chiedo una cosa impossibile :-(
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Elio Fabri
Elio Fabri