Interpretazione fisica simboli di Christoffel

[Giuseppe]

Nelle applicazioni fisiche della Geometria Differenziale, ad esempio
in Relatività, si incontrano spesso questi simboli. Ho letto che
questi hanno un importante significato fisico, ad esempio il
Gamma^x_00 fornisce l'accelerazione percepita da un osservatore in
caduta libera nella direzione x. Cercando di approfondire questi
argomenti ho trovato su wikipedia:

"Imporre che il generico simbolo di Christoffel, un ente matematico,
sia collegato all'intensità del campo gravitazionale, è
un'interpretazione fisica, che Einstein basa su un esperimento mentale
e un ragionamento discorsivo ma che si dimostra rigorosamente."

Ebbene, dove posso reperire questo ragionamento dimostrato
rigorosamente?
Grazie

[Elio Fabri]

Post by Giuseppe
Nelle applicazioni fisiche della Geometria Differenziale, ad esempio
in Relatività, si incontrano spesso questi simboli. Ho letto che
questi hanno un importante significato fisico, ad esempio il
Gamma^x_00 fornisce l'accelerazione percepita da un osservatore in
caduta libera nella direzione x. Cercando di approfondire questi
"Imporre che il generico simbolo di Christoffel, un ente matematico,
sia collegato all'intensità del campo gravitazionale, è
un'interpretazione fisica, che Einstein basa su un esperimento mentale
e un ragionamento discorsivo ma che si dimostra rigorosamente."
Ebbene, dove posso reperire questo ragionamento dimostrato
rigorosamente?

Intanto, oggigiorno i "simboli di Christoffel" si chiamano di solito
"coefficienti di connessione".
Secondo, quello che hai letto, se era scritto cosi', e' piuttosto
scorretto.

Dove puoi reperire ecc.?
Non ti so dare un'indicazione precisa, ma piu' o meno qualsiasi testo
di RG dovrebbe trattare l'argomento.
Intanto ti fornisco un accenno alla formulazione corretta e alla linea
della dimostrazione.

Facciamo alcune ipotesi:
a) che esista un sistema di coordinate in cui
a1) i coeff. della metrica differiscono poco da quelli della RR:
diag(1, -1, -1, -1)
a2) i suddetti coeff. non dipendono dalla coord. temporale x^0.
b) consideriamo un corpo in moto "lento", tale che le derivate delle
sue coord. spaziali x^i rispetto al tempo proprio siano << 1, mentre
dx^0/dtau si possa porre = 1.

Allora l'eq. delle geodetiche per le x^i si semplifica:

d^2 x^i/dtau^2 + Gamma^i_{00} = 0.

Dato che dtau coincide praticamente con dx^0, siamo arrivati.

Ma come vedi l'enunciato come l'avevi scritto non e' corretto.
Dovevi dire:
"l'accelerazione nelle coordinate che hanno le supposte proprieta'
vale Gamma^i_{00}".
Dove bisogna intendere che continuiamo a chiamare "accelerazione" la
derivata seconda delle coord. spaziali rispetto alla coord. temporale.
Cosa che e' accettabile solo per le ipotesi fatte a1), a2) mentre non
sarebbe accettabile in generale.
Comunque e' assolutamente da sconsigliare scrivere "accelerazione
percepita": che cosa vuol dire "percepire un'accelerazione"?

[Bruno Cocciaro]

Post by Elio Fabri
b) consideriamo un corpo in moto "lento", tale che le derivate delle
sue coord. spaziali x^i rispetto al tempo proprio siano << 1, mentre
dx^0/dtau si possa porre = 1.

Scusa Elio ma che caspita significa "dx^0/dtau si possa porre = 1" ?
Voglio intendere, e' una affermazione avente contenuto fisico o e'
semplicemente una definizione (nel qual caso, perche' "si possa porre"
invece di "poniamo")?
In sostanza, dtau cosa sarebbe? E' cio' che sta misurando un orologio in
caduta libera e l'affermazione in esame sta a dire che definiamo x^0 in
maniera tale che sia dx^0/dtau=1?

Post by Elio Fabri
Elio Fabri

Ciao.

[Elio Fabri]

Post by Bruno Cocciaro
Scusa Elio ma che caspita significa "dx^0/dtau si possa porre = 1" ?

Forse sono stato un po' criptico, ma e' tutto implicato da quanto
avevo scritto.
Per definizione di tempo proprio,
g_{mu,nu} dx^mu/dtau dx^nu/dtau = 1.

Nelle ipotesi che ho fatto tutti i termini della somma soo trascurabili
tranne uno, e si ottiene

g_{00} (dx^0/dtau)^2 = 1

Dato che g_{00} e' circa 1, ne segue quanto ho detto.

Post by Bruno Cocciaro
In sostanza, dtau cosa sarebbe? E' cio' che sta misurando un orologio
in caduta libera e l'affermazione in esame sta a dire che definiamo
x^0 in maniera tale che sia dx^0/dtau=1?

dtau e' quello che dici.
L'ipotesi e' che esistano coordinate tali che ... (quella che si
chiama "approssimazione di campo debole").

Se poi il corpo e' in moto lento, come ho appena spiegato il tempo
proprio coincide con la coordinata x^0, ossia siamo in condizioni di
tempo newtoniano.

[Bruno Cocciaro]

Post by Elio Fabri

Post by Bruno Cocciaro
In sostanza, dtau cosa sarebbe? E' cio' che sta misurando un

orologio

Post by Elio Fabri

Post by Bruno Cocciaro
in caduta libera e l'affermazione in esame sta a dire che definiamo
x^0 in maniera tale che sia dx^0/dtau=1?

dtau e' quello che dici.
L'ipotesi e' che esistano coordinate tali che ... (quella che si
chiama "approssimazione di campo debole").

Ma quello che non capisco e' cosa potrebbe mai eventualmente proibire
l'esistenza di coordinate tali che ...
In sostanza, non posso stabilire in ogni caso che le coordinate da
associare agli eventi che avvengono dove si trova il dato orologio in
caduta libera siano tre coordinate spaziali (che non ho la minima idea
di come si possano definire) e la quarta coordinata sia l'istante
segnato dall'orologio?

Post by Elio Fabri
Elio Fabri

Ciao e, nonostante il mio gravissimo ritardo, spero tu non abbia
accantonato il thread.

[Elio Fabri]

Post by Bruno Cocciaro
Ma quello che non capisco e' cosa potrebbe mai eventualmente proibire
l'esistenza di coordinate tali che ...

Quello che limita e' l'esistenza di invarianti.
L'esempio piu' semplice e' quello che viene indicato di solito con R,
ossia la doppia traccia del tensore di Riemann.
In campo debole, R sara' necessariamente molto piccolo.
Se invece te lo calcoli in uno spazio-tempo generico potrai trovare
facilmente un valore grande, e questo esclude che si possano trovare
coordinate con le proprieta' di cui si parla.

Post by Bruno Cocciaro
Ciao e, nonostante il mio gravissimo ritardo, spero tu non abbia
accantonato il thread.

Figurati! In materia di ritardi il primato ce l'ho io :-)

[Giuseppe]

Grazie Elio, adesso è tutto più chiaro.