Miscela di gas reali: calcolo temperatura finale

[Konx]

NB: stesso mess postato in ISC, ma non in crosspost.

Salve.

Sia dato il seguente problema: ho 3 (ma diciamo genericamente n) gas,
di cui conosco la composizione percentuale (tipo: un gas fatto al 50%
di elio, 25% argon, 25% ossigeno...numeri a caso). Questi 3 gas sono a
temperature iniziali diverse.

Quel che voglio calcolare è la temperatura finale.

Dove sorge il problema? per calcolare la temperatura finale ho trovato
delle formule che coinvolgono Cp (o Cv). il punto è che gli stessi Cp
e Cv _dipendono_ dalla temperatura.

Come dati di partenza, quindi, mi trovo con:

- Cp1 a T1. con una certa quantità G1 del primo gas;
- Cp2 a T2, con una certa quantità G2 del secondo gas;
- Cp3 a T3, con una certa quantità G3 del terzo gas;

Ognugno di questi gas ha la sua composizione.

Nel momento in cui li mescolo, come trovo la T finale della miscela?

Alcuni ragionamenti che ho fatto:

- avendo i 3 Cp potrei avere il Cp della miscela come media pesata MA
i 3 Cp non sono alla stessa T, senza contare il fatto che la miscela
si trova essa stessa ad una temperatura diversa T4 (la mia incognita).

- potrei calcolare le entalpie dei vari gas e sommarle, ma questo mi
sembra d'aver capito che si può fare SOLO se i 3 gas fossero alla
stessa T.

Grazie per ogni aiuto che potrete darmi!

saluti

Francesco.

[Elio Fabri]

Post by Konx
Sia dato il seguente problema: ho 3 (ma diciamo genericamente n) gas,
di cui conosco la composizione percentuale (tipo: un gas fatto al 50%
di elio, 25% argon, 25% ossigeno...numeri a caso). Questi 3 gas sono a
temperature iniziali diverse.

Scusa, ma non si capisce: hai tre gas, ciascuno dei quali e' una
miscela, oppure tre gas puri, con cui fai una miscela?
Le percentuali che cosa sono: in massa (vulgo: in peso)?

Post by Konx
Quel che voglio calcolare è la temperatura finale.

Altra cosa poco chiara: in che condizioni esegui la miscelazione?
Volume costante? Pressione costante?
Suppongo adiabatica, ma non l'hai detto...

Forse per questo nessuno ti ha risposto :)

Post by Konx
Dove sorge il problema? per calcolare la temperatura finale ho trovato
delle formule che coinvolgono Cp (o Cv). il punto è che gli stessi Cp
e Cv _dipendono_ dalla temperatura.

Mah, io di questo mi preoccuperei poco, a meno che non consideriamo
condizioni estreme.
E' vero che i cal. spec. variano con la temperatura, ma assai poco.
Quindi a meno che tu non voglia un risultato estremamente preciso (il
che avrebbe pochissimo senso fisico) non vedo problemi a trattarli
come costanti.

[Konx]

Post by Elio Fabri
Scusa, ma non si capisce: hai tre gas, ciascuno dei quali e' una
miscela, oppure tre gas puri, con cui fai una miscela?
Le percentuali che cosa sono: in massa (vulgo: in peso)?

ciao! Rispondo alle tue giuste osservazioni :)

Ho 3 miscele che voglio mescolare: quindi 3 gas (stiamo parlando di
gas di scarico) che vengono fatti confluire in un unico tubo.

Post by Elio Fabri

Post by Konx
Quel che voglio calcolare è la temperatura finale.

Altra cosa poco chiara: in che condizioni esegui la miscelazione?
Volume costante? Pressione costante?
Suppongo adiabatica, ma non l'hai detto...
Forse per questo nessuno ti ha risposto :)

Specifico meglio il problema (che forse abbiamo risolto, ma con una
soluzione che non mi piace molto :P):

Le 3 miscele, come detto, sono gas di scarico di motori: queste
vengono convogliate tramite tubi e ad un certo punto c'è l'esigenza di
unire i 3 tubi e vedere la composizione (facile) e la temperatura
(complicato) della miscela finale.

Post by Elio Fabri

Post by Konx
Dove sorge il problema? per calcolare la temperatura finale ho trovato
delle formule che coinvolgono Cp (o Cv). il punto è che gli stessi Cp
e Cv _dipendono_ dalla temperatura.

Mah, io di questo mi preoccuperei poco, a meno che non consideriamo
condizioni estreme.
E' vero che i cal. spec. variano con la temperatura, ma assai poco.
Quindi a meno che tu non voglia un risultato estremamente preciso (il
che avrebbe pochissimo senso fisico) non vedo problemi a trattarli
come costanti.

In realtà a trattarli costanti si commette un errore parecchio
rilevante, proprio perchè (in linea teorica) vogliamo mescolare gas
che potrebbero fare sbalzi di temperatura di centinaia di gradi.

Al momento la soluzione adottata è stata di tipo numerico: ovvero si
procede a fare un'iterazione su un primo valore stimato di entalpia e
temperatura finali, e si itera facendo convergere le cose. (scusa la
spiegazione poco dettagliata, ma la soluzione è stata trovata da altri
e me l'hanno spiegata solo parzialmente).

Io avevo pensato ad una cosa di questo tipo invece: considero il
problema e lo divido in sotto-problemi (unione di 2 tubi e quindi due
miscele alla volta). Abbiamo quindi un gas a T maggiore e uno a T
minore. Di sicuro sappiamo che i gas non fanno lavoro (è possibile
immaginare la cosa abbastanza bene con il classico problema della
scatola con due scompartimenti separati, e poi il setto che separa
viene rimosso). Allora io dico: il gas a T maggiore (Ti) cede una
piccola quantità di calore (diciamo Q1) diminuendo la Ti ad un valore
T2. Il gas a temperatura minore (Tm) assorbe questo calore, aumentando
leggermente la sua Tm ad un valore T3. In questi processi
"infinitesimi" (passatemi il termine per favore :P) posso considerare
il Cp costante. A questo punto ri-eseguo il procedimento, cambiando il
Cp del gas a Temperatura maggiore (che ora è T2) che diventa da Cp
(Ti)-->Cp(T2). In questo modo, per iterazioni successive, faccio
convergere le temperature.

NB: usiamo il Cp perchè le condizioni di lavoro sono sicuramente a
pressione costante.

Che dite, può essere sensato?

Scusate la poca chiarezza iniziale e comunque grazie della
risposta! :)

ciao

Francesco.

[Elio Fabri]

Post by Konx
ciao! Rispondo alle tue giuste osservazioni :)
...

E' vero che erano giuste: infatti ora e' molto piu' chiaro :-)

Nelle condizioni che hai detto, e se puoi trascurare gli scambi di
calore attraverso le pareti dei tubi, allora l'entalpia si conserva,
e quindi ti bastera' integrare i Cp (che e' in sostanza quello che tu
proponi).

Post by Konx
In realtà a trattarli costanti si commette un errore parecchio
rilevante, proprio perchè (in linea teorica) vogliamo mescolare gas
che potrebbero fare sbalzi di temperatura di centinaia di gradi.

Spero comunque che non si arrivi a T tali da avere sensibili
decomposizioni dei gas, se no sarebbero guai, non solo per i calcoli,
ma forse anche per i tubi :-)

Non ho molti dati sotto mano, ma da quello che ho visto e da ragioni
teoriche generali, puoi sicuramente trascurare le variazioni di Cp per
i gas monoatomici.
Per quelli biatomici anche su intervalli di T di centinaia di gradi
rispetto a T ambiente, l'errore e solo di qualche %.
Solo per i gas poliatomici, anche CO2 e H2O c'e' davvero da
preoccuparsi.
Comunque dovrebbero essere disponibili delle formule che danno Cp in
funzione di T, come polinomi, per ciascun gas.

Pero' vorrei fare un'obiezione a monte: vi preoccupate della
variazione dei Cp, ma avete stimato la dispersione di calore
attraverso le pareti dei tubi?
A meno che non siano bene isolati, sarei portato a credere che possa
avere un effetto ben piu' importante dell'errore sui Cp...

[Konx]

Ciao!

Post by Elio Fabri
Non ho molti dati sotto mano, ma da quello che ho visto e da ragioni
teoriche generali, puoi sicuramente trascurare le variazioni di Cp per
i gas monoatomici.
Per quelli biatomici anche su intervalli di T di centinaia di gradi
rispetto a T ambiente, l'errore e solo di qualche %.
Solo per i gas poliatomici, anche CO2 e H2O c'e' davvero da
preoccuparsi.

Nei gas che trattiamo, avremo sia CO2 che H20, in quantità anche
rilevanti, quindi direi che tenere conto di questi discorsi ci
serve :)

Post by Elio Fabri
Comunque dovrebbero essere disponibili delle formule che danno Cp in
funzione di T, come polinomi, per ciascun gas.

Questo sì. Ho scovato in un Hanbook di chimica delle formula molto
utili, che in pratica forniscono un modo abbastanza semplice e preciso
per fare delle interpolazioni: per completezza (e se può interessare)
la formula è:

Cp(T) = a + bT + cT^2

dove a,b,c sono dei parametri che O si trovano tabulati, oppure si
possono ricavare dalla suddetta interpolazione.

Post by Elio Fabri
Pero' vorrei fare un'obiezione a monte: vi preoccupate della
variazione dei Cp, ma avete stimato la dispersione di calore
attraverso le pareti dei tubi?
A meno che non siano bene isolati, sarei portato a credere che possa
avere un effetto ben piu' importante dell'errore sui Cp...

Non abbiamo ancora fatto una stima concreta di questo aspetto, ma da
discorsi fatti con gli ingegneri che solitamente progettano questi
sistemi è venuto fuori che la dispersione è trascurabile fino a
lunghezze di 400-500 metri (si parla di una perdita di potenza dei
fumi di circa l'1% su queste distanze). Questo perchè i fumi nei tubi
"corrono" molto veloci e dal punto di produzione al punto di utilizzo
impiegano veramente poco tempo.

Grazie mille per l'aiuto e per aver confermato che il metodo proposto
da me ha un senso :D

ciao!

Francesco.