Post by Elio FabriNon sono intervenuto prima perche' volevo fare il calcoletto, che e'
appunto facile come concetti, ma suscettibile di errori banali...
Stamattina l'ho fatto, e il risultato e' che l'equilibrio stabile per
il cubo si ha con facce orizzontali se la densita' relativa e'
< (3-sqrt(3))/6 oppure > (3+sqrt(3))/6.
Basta ridurre il problema ad un quadrato, e studiare la transizione da
stabile ad instabile lungo la direzione di rotolamento parallela ad un asse
di simmetria del cubo.
Se la direzione che consideri e' invece parallela ad una diagonale interna
del cubo ti accorgi che il centro delle forze che tendono a riequilibrare
dista 3/4 di radice di due per mezzo lato dall'asse verticale. Ed il volume
della
sezione piramidale va come 1/2 * 1/3 delta se considero un cubo unitario e
delta l'angolo di inclinazione espresso in radianti, quindi il confronto fra
i momenti in diagonale ed i momenti
paralleli ad una faccia si riduce al confronto fra
2/3 * 1/2 * 1/2 = 1/6 e
e
3/4 * sqrt(2)/2 * 1/3 = sqrt(2)/8
Il secondo numero e' maggiore del primo
quindi il momento in direzione "diagonale" risulta
lievemente piu' stabilizzante del momento in direzione
"laterale".
Accertato questo non resta che controllare dove si
trova la transizione.
Trovo un'equazione della forma:
6r^2-6r+1=0
che implica una transizione alla densita' di
[3-sqrt(6)]/6 che vale circa .21
Post by Elio FabriAppena trovo un altro po' di tempo provero' con la bacchetta.
In realta' ho fatto il conto solo per posizioni vicine a quella
quella "sugli spigoli", per cosi' dire.
Non e' affatto ovvio che il valore della densita' che fa passare da
stabile a instabile la prima posizione, allo stesso tempo faccia fare
la transizione inversa alla seconda.
Se consideri tutti i valori possibili del potenziale su una
circonferenza a simmetria quadrata al variare dell'angolo,
ed a parita' di volume immerso trovi sempre almeno un minimo
e quattro copie. Se il minimo non sta su un asse di simmetria del quadrato i
suoi simmetrici sono otto,
mutatis mutandis, per il cubo, se il minimo non sta su alcun elemento di
simmetria del cubo i suoi gemelli sono, se non sbaglio a contare,
quarantasette.
La mia certezza e' che prima della soglia di .21 hai
almeno 6 minimi: uno per ciascun verso degli assi centrali
del cubo, che sono tre, la mia impressione e' che hanno luogo, almeno
ventiquattro minimi quando hai la prima transizione. (quattro sono i modi in
cui puoi inclinare un
quadrato mantenendo un lato parallelo a se e sei sono
le facce del cubo 6*4=24).
Il momento angolare e' una funzione esatta
della densita' per sen(theta) meno una funzione della
densita' moltiplicata per una funzione che e' maggiorata
da sen(theta). Quando il coefficiente di sen(theta)
supera il coefficiente del momento raddrizzante il cubo
inizia a ruotare fino a quando uno spigolo non affiora
in superfice. A quel punto la forma del momento raddrizzante
cambia (ed il profilo dell'energia potenziale ha, generalmente uno spigolo
in quel punto).
Esiste ora un argomento qualitativo che consente di concludere
che effettivamente una transizione della configurazione sugli
spigoli a configurazione stabile e' avvenuta prima che
la densita' ha raggiunto .21 si tratta di questo: mettiamoci
ad una densita' per cui si ha equilibrio piano, siccome
il momento raddrizzante e' k*f(theta) ed f(theta) e' maggiorata da
sen(theta) ed in zero e' asintoticamente equivalente a
sen(theta), ed inoltre k>k', e' possibile che esiste un angolo diverso da
zero che e' un massimo dell'energia potenziale e dove k'sen(theta)=k
f(theta).
d'altra sappiamo che quando la densita' e' diventata uguale alla densita' di
soglia: k=k' questo angolo esiste davvero e vale zero e siccome c'e'
arrivato con continuita' segue che sotto la soglia di .21 esiste un
intervallo dei valori della densita' in cui c'e' un massimo del potenziale
ad un certo angolo.
se continuiamo ad aumentare l'angolo (imponiamo che una faccia rimanga
verticale) possiamo affermare che l'energia potenziale decresce fino alla
configurazione a spigolo emerso. Qui sono possibili tre situazioni: o
l'energia potenziale torna a crescere o continua a diminuire oppure rimane
costante. Nel primo caso lo spigolo in superfice e' di equilibrio. Nel
secondo caso lo spigolo emerge e c'e' un minimo del potenziale da qualche
parte nell'intermedio, infatti quando l'altro spigolo sara' in superfice
l'energia potenziale sara' allo stesso valore di quando e' il primo spigolo
in superfice.
Nel terzo caso, infine, o si ha solo un intervallo di
punti di equilibrio indifferente oppure ad un certo punto l'energia
potenziale torna a diminuire e di nuovo deve esserci
un minimo da qualche parte.
Tuttavia il fatto che sia possibile una configurazione
(non di minimo assoluto) con uno spigolo in superfice avendo imposto che una
faccia sia verticale non implica che questa configurazione sia di minimo se
si rimuove questo vincolo
e l'intuizione fa aumentare la "dubitosita'" quando la densita'
si avvicina alla soglia .21 In effetti, in linea di principio potrebbero
esistere quarantotto minimi e potrebbe verificarsi la situazione che
esistano altri minimi locali.
Facendo gli esperimenti con cubi non perfettamente omogenei
o tralasciando qualche intervallo di densita' si potrebbero trarre
facilmente conclusioni sbagliate.
Per dare un'idea di quali potrebbero essere le difficolta'
sperimentali, torniamo piu' umilmente ai punti di equilibrio sugli assi di
simmetria di tipo (1,0,0): riguardo al tipo di instabilita', sotto un certo
valore di densita' e sopra .21 i punti che erano di minimo diventano punti
stazionari di superfici non iperboliche ed esistono due direzioni, in
corrispondenza alle diagonali, lungo le quali l'energia potenziale cresce.
Tuttavia ci si accorge che per le rotazioni in direzioni diagonali ha luogo
l'equazione:
6r^2-6r+3sqrt(2)/4 = 0
La cui soluzione
[3-sqrt(9-9/sqrt(2))]/6 vale circa .23
quando la densita' e' maggiore di questo valore i punti
al centro delle facce diventano punti di massimo locale
del potenziale. Tuttavia per i valori intermedi: fra
..21 e .23 la rotazione lungo piani diagonali e' inibita.
Allora per discriminare questo comportamento occorre
osservare attentamente quello che si verifica per cubi
perfettamente omogenei di densita' compresa fra .21 e .23
Da notare che non importa che i cubi siano completamente
pieni, quello che conta e' che il centro di massa dell'oggetto rigido,
(rivestito da pareti cubiche) sia nel centro del cubo.
Questo limitandosi alla statica. Se consideriamo
anche la dinamica basta invece che il centro di massa sia nel centro del
cubo e che il tensore d'inerzia sia come quello
di un cubo (che e' come quello di una sfera o di un tedraedro
o di qualunque altro solido platonico), ed infine che le sole forze che
agiscono agiscano esternamente oppure siano riconducibili ad un campo
uniforme di accelerazione mediante un cambiamento rigido di coordinate. In
questo caso non esiste modo di distinguere l'oggetto da un cubo
perfettamente omogeneo senza ricorrere a sollecitazioni elastiche (onde
acustiche ad esempio).
Post by Elio FabriAnche se forse piu' che a una catastrofe penserei a una biforcazione.
Ma occorre fare il conto...
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