gradiente spaziale

[Alex]

Si definisce gradiente spaziale il vettore (@/@x, @/@y, @/@z) (ancche se
l'ho trovato anche con il segno di derivata "d" non parziale, ma non so
perchè): giusto?
Il gradiente di una grandezza, T, è quindi il vettore (@T/@x, @T/@y, @T/@z),
giusto?


Leggo, a propoaito di fenomeno della diffusione in una dimensione, che:

f=-D dc/dx

In tre dimensioni, leggo che il vettore flusso F è uguale a:

F = -DVc, con Vc il gradiente spaziale di c. Esplicitando, immagino che le
cose stiano così:

F = -D(@T/@x, @T/@y, @T/@z) (la cui correttezza matematica mi pare incerta:
chi mi da una mano a capire questa uguaglianza?)

ma la cosa che più mi riesce difficile da capire è come sia possibile avere
un valore scalare che indichi l'entità del flusso in un punto. Suppongo che
questo scalare che cerco sia il modulo del vettore flusso F, ma mi pare
troppo macchinoso calcolarmi geometricamnete la lunghezza del vettore F (con
la regola delparallelogramma, dico). In latre parole, se ho la formula

F = -DVc

come faccio ad avere un numero che mi esprima il flusso nel punto
considerato? La formula di ospra, come detto su, infatti non mi sembra una
relazione tra numeri, ma fra n-ple (vettori).

Grazie

[Mino Saccone]

Post by Alex
l'ho trovato anche con il segno di derivata "d" non parziale, ma non so
perchè): giusto?
giusto?

Si', vedi sotto

Una volta si sarebbe scritto:
@T/@x i + @T/@y j + @T/@z k

con i, j, k versori dei tre assi

Post by Alex
f=-D dc/dx
F = -DVc, con Vc il gradiente spaziale di c. Esplicitando, immagino che le
chi mi da una mano a capire questa uguaglianza?)

Nella tua notazione mi pare sia perfettamente congruente con quanto sopra

Post by Alex
ma la cosa che più mi riesce difficile da capire è come sia possibile avere
un valore scalare che indichi l'entità del flusso in un punto. Suppongo che
questo scalare che cerco sia il modulo del vettore flusso F, ma mi pare
troppo macchinoso calcolarmi geometricamnete la lunghezza del vettore F (con
la regola delparallelogramma, dico). In latre parole, se ho la formula
F = -DVc
come faccio ad avere un numero che mi esprima il flusso nel punto
considerato? La formula di ospra, come detto su, infatti non mi sembra una
relazione tra numeri, ma fra n-ple (vettori).

Infatti e' cosi' e se vuoi il valore assoluto devi proprio usare il vecchio
buon Pitagora.

per riassumere:

Il gradiente e' un operatore matematico che "innalza di grado" il rango di
un campo:

Il gradiente di un campo scalare e' un campo vettoriale ordinario
Il gradiente di un campo vettoriale ordinario e' un campo tensore doppio
Il gradiente di un campo tensore doppio e' un campo tensore triplo

e via cosi'

Saluti

Mino Saccone

[Alex]

Post by Mino Saccone
Si', vedi sotto
@T/@x i + @T/@y j + @T/@z k
con i, j, k versori dei tre assi

Cioè una somma tra vettori?

Post by Mino Saccone
Nella tua notazione mi pare sia perfettamente congruente con quanto sopra

In quella che riporti tu, invece, si sarebbe scritto:

F = -D(@c/@x i + @c/@y j + @c/@z k)

giusto? Ossia il vettore F dato dalla somma dei
vettori -D(@c/@x)i, -D(@c/@y)j, -D(@c/@z)k

Però, vedi, mentre mi torna più spontaneo mettere l'uguale quando al
secondoi membro c'è una somma, mi riesce enormemente difficile metterlo
quando c'è una n-pla come nella notazione che riporto io. Mi dai una mano a
capire ciò? E' corretto dire che M = (a, d, t, r)? A volte trovo anzichè
l'ugulae quel simbolo dato da tre tratini orizzontali.

Post by Mino Saccone
Infatti e' cosi' e se vuoi il valore assoluto devi proprio usare il
vecchio buon Pitagora.

Perfetto!

Grazie Mino!


Ciao

[Mino Saccone]

Post by Alex

Post by Mino Saccone
Si', vedi sotto
@T/@x i + @T/@y j + @T/@z k
con i, j, k versori dei tre assi

Cioè una somma tra vettori?

Proprio cosi'

Post by Alex

Post by Mino Saccone
Nella tua notazione mi pare sia perfettamente congruente con quanto sopra

Giusto

Post by Alex
giusto? Ossia il vettore F dato dalla somma dei
Però, vedi, mentre mi torna più spontaneo mettere l'uguale quando al
secondoi membro c'è una somma, mi riesce enormemente difficile metterlo
quando c'è una n-pla come nella notazione che riporto io. Mi dai una mano a
capire ciò? E' corretto dire che M = (a, d, t, r)? A volte trovo anzichè
l'ugulae quel simbolo dato da tre tratini orizzontali.

E' infatti una convenzione di notazione. Io essendo abbastanza anziano, non
ho familiarita' con la tua notazione. Ho assunto quindi che tu indicassi un
generico vettore V con componenti Vx, Vy, Vz come:

V = (Vx, Vy, Vz) e, dato che non ci trovo nulla di strano, ti ho seguito
volentieri.

per cui, per riportarlo alla mia veccia notazione:

V = (Vx, Vy, Vz) = Vx i + Vy j + Vz k

Tutto li', basta che le definizioni siano precise e le convenzioni
condivise... ci si capisce sempre.


Saluti

Mino Saccone

[Sarge]

(ancche se l'ho trovato anche con il segno di derivata "d" non
parziale, ma non so perchè): giusto?
@T/@y, @T/@z), giusto?

E' mia opinione che sia pessima abitudine (diffusissima) definire
questi operatori (gradiente, divergenza e rotore) in un sistema
cartesiano, perchè non si coglie il significato fisico dello stesso
che è invariante rispetto al particolare riferimento scelto, al
contrario della espressione analitica che dipende dal riferimento.

In generale è preferibile definire il gradiente come un operatore
differenziale definito su un campo scalare f che restituisce un
vettore grad(f) tale che:
grad(f).ds=df
dove df è la variazione infinitesima in f tra il punto P e il punto
P+ds.
Sviluppando poi f in serie di Taylor, si ricava l'espressione
analitica di grad(f) per qualunque sistema di riferimento una volta
scritta l'espressione per ds.