molla verticale e orizzontale

[manuhe]

Problema: Ad una molla di costante elastica k appesa verticalmente viene
agganciata una massa m. Calcolare l'allungamento della molla (a) nella
nuova posizione di equilibrio e (b) nel punto di massima elongazione.

Per il punto (a) ho usato la conservazione dell'energia, fissando lo zero
dell'energia potenziale nella nuova posizione di equilibrio. Un istante
prima di agganciare la massa ho che l'energia potenziale e' solo quella
della massa, quindi m*g*x, mentre alla fine l'energia potenziale e' solo
quella della molla, quindi 0.5*k*x^2. Uguagliando ottengo x=2*m*g/k. E'
giusto?

Per il punto (b) ho ragionato cosi': siccome la compressione della molla
all'inizio e' x, e il punto di equilibrio e' 0, per avere un moto armonico
devo "arrivare all'altro capo", ossia a -x. Quindi nel punto di
elongazione massima mi trovo a 2x rispetto alla posizione iniziale (dove x
l'ho gia' calcolato al punto precedente).

Pero' non mi torna una cosa. Intuitivamente qualcosa si perde per
dissipazione, quindi non potro' arrivare proprio a quel punto li'. Ma
forse qui l'attrito e' trascurabile. Pero' se l'attrito e' trascurabile,
mi sembra che tutto funzioni identicamente se la molla invece che appesa
e' distesa lungo un piano privo di attrito (chiamiamolo "II caso"). Ma
come e' possibile questo? Intuitivamente, nel primo caso c'e' la forza di
gravita', che continua a tirare anche mentre la molla si sta allungando.
Nel secondo caso, invece, la forza di gravita' non tira mai. Come si
spiega che la dinamica dei due sistemi e' identica? Oppure ho sbagliato
tutto, e c'e' differenza?

Grazie per l'aiuto,
Manuela.

[cometa luminosa]

Post by manuhe
Problema: Ad una molla di costante elastica k appesa verticalmente viene
agganciata una massa m. Calcolare l'allungamento della molla (a) nella
nuova posizione di equilibrio e (b) nel punto di massima elongazione.
Per il punto (a) ho usato la conservazione dell'energia, fissando lo zero
dell'energia potenziale nella nuova posizione di equilibrio. Un istante
prima di agganciare la massa ho che l'energia potenziale e' solo quella
della massa, quindi m*g*x, mentre alla fine l'energia potenziale e' solo
quella della molla, quindi 0.5*k*x^2. Uguagliando ottengo x=2*m*g/k. E'
giusto?

No, Manuela, perchè il tuo ragionamento è valido per trovare
l'allungamento massimo (quesito b) e non quello all'equilibrio. Se tu
agganci la massa alla molla inizialmente in posizione di riposo, la
massa si muove raggiungendo la posizione x_1 corrispondente
all'equilibrio statico, ma poi la sorpassa raggiungendo infine la
posizione x_2 corrispondente all'allungamento massimo. Quando
raggiunge la posizione x_1 perciò, la velocità non è nulla e quindi
neanche l'energia cinetica;

Invece è sufficiente scrivere kx_1 = mg in quanto, all'equilibrio, la
risultante di tutte le forze applicate sulla massa deve essere nulla.
Perciò: x_1 = mg/k.

Per trovare x_2 si fa appunto come nel tuo ragionamento: x_2 = 2mg/k

Post by manuhe
Per il punto (b) ho ragionato cosi': siccome la compressione della molla
all'inizio e' x, e il punto di equilibrio e' 0, per avere un moto armonico
devo "arrivare all'altro capo", ossia a -x.

Ma perchè tu sai già che è un moto armonico. Ma se non lo sapessi? Non
saresti più in grado di risolvere il problema? Ma devi essere in grado
di risolverlo a prescindere da questo, altrimenti ha poco senso: devi
utilizzare un risultato per determinare i risultati!
Il fatto che il massimo allungamento x_2 sia il doppio di quello
all'equilibrio statico x_1 dipende dal fatto che la funzione energia
potenziale elastica della molla è simmetrica rispetto alla posizione
di equilibrio statico. Se, ad esempio, la molla non seguisse la legge
di Hooke ma avesse una costante elastica che diminuisce con x, la
posizione x_2 sarebbe più del doppio di x_1; viceversa se k aumentasse
con x.

Post by manuhe
Quindi nel punto di
elongazione massima mi trovo a 2x rispetto alla posizione iniziale (dove x
l'ho gia' calcolato al punto precedente).>
Pero' non mi torna una cosa. Intuitivamente qualcosa si perde per
dissipazione, quindi non potro' arrivare proprio a quel punto li'. Ma
forse qui l'attrito e' trascurabile. Pero' se l'attrito e' trascurabile,
mi sembra che tutto funzioni identicamente se la molla invece che appesa
e' distesa lungo un piano privo di attrito (chiamiamolo "II caso"). Ma
come e' possibile questo? Intuitivamente, nel primo caso c'e' la forza di
gravita', che continua a tirare anche mentre la molla si sta allungando.
Nel secondo caso, invece, la forza di gravita' non tira mai. Come si
spiega che la dinamica dei due sistemi e' identica? Oppure ho sbagliato
tutto, e c'e' differenza?

Infatti la dinamica E' identica. Si spiega, per esempio, così: Se si
considera la molla e la massa vincolati a muoversi lungo una linea
orizzontale ed applico alla massa una forza costante = F verso destra
ed un'altra uguale e contraria (quindi a sinistra) il moto della massa
deve essere esattamente uguale a prima. Ma questo è proprio ciò che
accade al sistema posto in verticale: alla massa viene applicata la
forza costante diretta in basso = mg e contemporaneamente la forza
costante diretta verso l'alto = kx_1 (ricorda che all'equilibrio
statico kx_1 = mg).

Quindi il sistema posto in orizzontale è totalmente equivalente, per
quanto riguarda la dinamica della massa, al sistema posto in verticale
in cui si considerano però le coordinate non rispetto alla posizione a
riposo della molla ma rispetto alla posizione di equilibrio statico.

Ciao.
cometa luminosa

[Paolo]

Post by manuhe
Problema: Ad una molla di costante elastica k appesa verticalmente viene
agganciata una massa m. Calcolare l'allungamento della molla (a) nella
nuova posizione di equilibrio e (b) nel punto di massima elongazione.
Per il punto (a) ho usato la conservazione dell'energia, fissando lo zero
dell'energia potenziale nella nuova posizione di equilibrio. Un istante
prima di agganciare la massa ho che l'energia potenziale e' solo quella
della massa, quindi m*g*x, mentre alla fine l'energia potenziale e' solo
quella della molla, quindi 0.5*k*x^2. Uguagliando ottengo x=2*m*g/k. E'
giusto?

Direi di no. Nel secondo punto la massa possiede energia cinetica!
I conti non tornano.
Io userei la dinamica.
Quando il corpo è in equilibrio (caso a) si ha ma=0=-kx-mg -> x=-mg/k.