Principio di sovrapposizione

[Antonio]

Premessa:
Il principio di sovrapposizione vale solo se la legge
a cui ci riferiamo è lineare.
Dunque con la seconda legge di Newton nessun problema, ma per esempio con
la legge di gravitazione, che non è lineare, non posso usare il PS per
studiare il moto della Terra sotto l'azione della forza del Sole e di quella
degli altri pianeti.
In qualche testo leggo che il PS è invece applicabile a forze elettriche.
Domanda: come si spiega questo riscontro sperimentale del PS applicato alla
legge di Coulomb?
Grazie
Antonio

[Elio Fabri]

Il principio di sovrapposizione vale solo se la legge a cui ci
riferiamo è lineare.
Dunque con la seconda legge di Newton nessun problema, ma per esempio
con la legge di gravitazione, che non è lineare, non posso usare il PS
per studiare il moto della Terra sotto l'azione della forza del Sole e
di quella degli altri pianeti.
In qualche testo leggo che il PS è invece applicabile a forze
elettriche. Domanda: come si spiega questo riscontro sperimentale del
PS applicato alla legge di Coulomb?

Mi sembra che tu stia mescolando cose eterogenee.
In primo luogo, e' vero che F=ma e' lineare, ma questo non dice nulla
perche' devi anche sapere com'e' fatta la legge di forza.
Se questa non e' lineare nella posizione e nella velocita', addio...
In questo senso la non linearita' della legge di gravitazione e'
appunto l'ostacolo, perche' la devi sempre usare *insieme* a F=ma.

Quanto alle forze elettriche (e magnetiche) la linearita' consiste
solo nel fatto che E e B dipendono linearmente da cariche e correnti.
Quindi i campi prodotti da piu' cariche o correnti sono le somme di
quelli prodotti separatamente dalle componenti.
Ma certo non avrai linearita' se vuoi studiare il moto di una
particella in campo dato, visto che questo *non dipende linearmente*
(a meno di casi eccezionali) dalla posizione della particella.

Incidentalmente, anche per il campo gravitazionale vale il pr. di
sovrapp. rispetto alle masse che lo generano.


--
Elio Fabri

[cometa_luminosa]

Post by Antonio
Il principio di sovrapposizione vale solo se la legge
a cui ci riferiamo è lineare.
Dunque con la seconda legge di Newton nessun problema,  ma per esempio con
la legge di gravitazione, che non è lineare, non posso usare il PS per
studiare il moto della Terra sotto l'azione della forza del Sole e di quella
degli altri pianeti.
In qualche testo leggo che il PS è invece applicabile a forze elettriche.
Domanda: come si spiega questo riscontro sperimentale del PS applicato alla
legge di Coulomb?

Ma la legge *e'* lineare: la forza risultante e' la somma delle forze
e moltiplicando per k una singola forza la forza risultante viene
moltiplicata per k, sia nel caso gravitazionale che nel caso
coulombiano.

[unknown]

Post by Antonio
Il principio di sovrapposizione vale solo se la legge
a cui ci riferiamo è lineare.
Dunque con la seconda legge di Newton nessun problema, ma per esempio con
la legge di gravitazione, che non è lineare, non posso usare il PS per
studiare il moto della Terra sotto l'azione della forza del Sole e di quella
degli altri pianeti.

E' vero però le forze che agiscono sulla terra, supposta fissa la sua massa,
sono soggette ancora al principio di sovrapposizione.

Post by Antonio
In qualche testo leggo che il PS è invece applicabile a forze elettriche.
Domanda: come si spiega questo riscontro sperimentale del PS applicato alla
legge di Coulomb?

A livello dinamico non c'è questo riscontro sperimentale: l'evoluzione
temporale della somma di due configurazioni non è, in generale, la somma
delle configurazioni evolute temporalmente, somma dei vettori e degli
scalari, questo perchè già le forze non soggiacciono al principio di
sovrapposizione lineare se si ammette che tutte le masse e cariche possano
essere sommate e velocità iniziali possano essere sommate.

In effetti si verifica sovente il caso di un sistema complessivo tale che
gli effetti prodotti da una prima parte del sistema sul secondo siano
soggetti alla sovrapposizione lineare, per esempio:

q'(t) = M(a(t)) q
a'(t) = q(t)

a(t) è regolata da una equazione differenziale lineare non omogenea di q(t)
la cui evoluzione temporale è soggetta a sovrapposizione lineare degli
effetti:

a1(t) = a1(0) + Integrale (q1(t')dt')
a2(t) = a2(0) + Integrale (q2(t') dt')

combinazioni lineari sono ancora soluzioni per l'equazione differenziale
complessiva.

Inoltre si verifica che M è funzione lineare di a(t) tale che M(k1 a1(t) +
k2 a2(t)) = k1 M(a1(t)) + k2 M(a2(t))

quindi anche viceversa vale una forma parziale di linearità e di
sovrapposizione degli effetti: l'effetto della variabile a(t) sui
coefficienti di q è lineare e soggetto a sovrapposizione lineare. Tuttavia
evidentemente questo effetto lineare a livello dei coefficienti non si
riflette in un comportamento lineare a livello delle soluzioni, integrando
ritrovi infatti l'effetto moltiplicativo dovuto al fatto che la derivata
prima dipende dal prodotto bilineare della funzione q con la funzione a.
Questo è essenzialmente quello che si verifica in elettrodinamica.

A livello elettrostatico, come nel caso newtoniano, tenendo fissa una carica
e considerando variabile la configurazione circostante vale ancora il
principio di sovrapposizione lineare, è effetto della bilinearità
dell'energia potenziale rispetto alle cariche. Inoltre i campi elettrici e
magnetici statici soggiacciono il principio di sovrapposizione lineare
rispetto alle sorgenti, le equazioni di Maxwell che riguardano i campi,
assegnate le distribuzioni nel tempo sono equazioni differenziali lineari.
Non sono lineari però le equazioni complessive: per il motivo che la
corrente elettrica non è indipendente dall'impulso quindi la seconda legge
di Newton prevede un equazione del tipo:

q'(t) = M(a(t)) q

dove il potenziale vettore prende le veci di a, e l'impulso di q.

Diverso il caso se si considera lo spazio delle fasi: in un significato del
tutto generale, che riguarda l'evoluzione di distribuzioni statistiche di
sistemi indipendenti, nello spazio delle fasi, il principio di
sovrapposizione lineare dell'evoluzione temporale per effetto della
dinamica, vale sempre, (compresa almeno in parte l'elettrodinamica) per
tutti i sistemi dinamici governati da un sistema di equazioni differenziali
ordinarie del primo ordine, è la sostanza del metodo di linearizzazione di
Lie che traduce un sistema di equazioni differenziali ordinarie non lineare
del primo ordine in un sistema lineare di equazioni differenziali a derivate
parziali per una distribuzione o per una funzione associata (i sistemi
lineari associati alle funzioni ed alle distribuzioni sono differenti per un
termine di divergenza), il metodo di linearizzazione ha un converso che si
chiama metodo delle caratteristiche. E per quanto riguarda il converso
l'equazione alle caratteristiche di una equazione differenziale lineare alle
derivate parziali non è necessariamente lineare.

Post by Antonio
Grazie
Antonio

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[Antonio]

Grazie a tutti per le risposte ricevute che studierò con grande attenzione.