Quesito sul moto accelerato "non uniforme"

[c***@news.tin.it]

Salve,
vi espongo subito il mio dubbio:

a scuola ci hanno sempre insegnato che un punto materiale di massa m
sottoposto ad una accelerazione costante "a" si muove di moto uniformemente
accelerato (lungo la direzione del vettore a) e quindi |a| = dv/dt e da qui
ri ricava la legge oraria del moto.

Ora, se a non è costante? Per intenderci come si ricava la legge oraria
della caduta di un grave se al posto di a costante (9,8 m/s^2) volessi usare
la legge di gravitazione universale di newton?
Cioè il mio punto materiale di massa m è soggetto ad una forza in modulo
pari a GmM/d^2 (con M massa della terra).
In questo caso l'accelerazione a non è cosatnte ma varia con la posizone.
Come calcolo la velocità v? e poi v è in funzione del tempo o della
posizione come a?
E ammesso di riuscire ad avere a e v in ogni punto (diciamo a qualsiasi
distanza d dal centro della terra sulla retta congiungente, ricavando per
esempio v da considerazioni di conservazione dell'energia) come calcolo la
posizione dopo un tempo t di caduta?

Naturalmente questo è solo un esempio per semplificare molto la cosa, ma
aiuta a capire, in generale se ho la forza agente su un punto materiale in
ogni punto dello spazio, come calcolo la legge oraria del suo moto?

Grazie in anticipo a chi vorrà chiarirmi le idee.

[argo]

***@news.tin.it ha scritto:
[...]

Post by c***@news.tin.it
Ora, se a non è costante? Per intenderci come si ricava la legge oraria
della caduta di un grave se al posto di a costante (9,8 m/s^2) volessi usare
la legge di gravitazione universale di newton?
Cioè il mio punto materiale di massa m è soggetto ad una forza in modulo
pari a GmM/d^2 (con M massa della terra).
In questo caso l'accelerazione a non è cosatnte ma varia con la posizone.
Come calcolo la velocità v? e poi v è in funzione del tempo o della
posizione come a?

[...]

Post by c***@news.tin.it
Naturalmente questo è solo un esempio per semplificare molto la cosa, ma
aiuta a capire, in generale se ho la forza agente su un punto materiale in
ogni punto dello spazio, come calcolo la legge oraria del suo moto?
Grazie in anticipo a chi vorrà chiarirmi le idee.

Dalle equazioni del moto F=ma ricavi delle equazioni (differenziali)
del tipo
d^2/dt^2(r)=f(r) sul vettore posizione r(t) (in particolare
f(r)=F(r)/m).
In generale questa equazione in cui l'incognita e' una funzione r(t)
del tempo ha molte soluzioni. Fissate pero' le condizioni iniziali
v(t=0)=v_0 e r(t=0)=r_0, e supposte valide alcune proprieta' di
regolarita' della funzione f(r), hai un problema matematicamente ben
posto (che si chiama di Cauchy) con un'unica soluzione in un intervallo
intorno a t=0.
La possibilita' di risolvere esattamente il problema esplicitamente
dipende naturalemente dalla funzione f(r), cioe' dalla forza in
questione. Ad esempio la legge oraria del pendolo non e' cosa semplice.
Spesso per risolvere questi problemi o almeno per studiare alcune
proprieta' delle soluzioni si utilizzano, quando presenti, le costanti
del moto cioe' funzioni di r(t) e sue derivate che sono costanti nel
tempo. L'energia ed il momento angolare sono esempi di costanti del
moto associate a forze 1/r^2.
Saluti.

[Antonio De Marco]

Post by c***@news.tin.it
Salve,
a scuola ci hanno sempre insegnato che un punto materiale di massa m
sottoposto ad una accelerazione costante "a" si muove di moto
uniformemente accelerato (lungo la direzione del vettore a) e quindi |a|
= dv/dt e da qui ri ricava la legge oraria del moto.
Ora, se a non è costante? Per intenderci come si ricava la legge oraria
della caduta di un grave se al posto di a costante (9,8 m/s^2) volessi
usare la legge di gravitazione universale di newton?
Cioè il mio punto materiale di massa m è soggetto ad una forza in modulo
pari a GmM/d^2 (con M massa della terra).
In questo caso l'accelerazione a non è cosatnte ma varia con la posizone.
Come calcolo la velocità v? e poi v è in funzione del tempo o della
posizione come a?
E ammesso di riuscire ad avere a e v in ogni punto (diciamo a qualsiasi
distanza d dal centro della terra sulla retta congiungente, ricavando per
esempio v da considerazioni di conservazione dell'energia) come calcolo la
posizione dopo un tempo t di caduta?
Naturalmente questo è solo un esempio per semplificare molto la cosa, ma
aiuta a capire, in generale se ho la forza agente su un punto materiale in
ogni punto dello spazio, come calcolo la legge oraria del suo moto?>
Grazie in anticipo a chi vorrà chiarirmi le idee.

Non so se ti può interessare ma la seguente espressione permette di
calcolare la velocità relativa di due particelle di massa M e m che partendo
dall'infinito si avvicinano per effetto dell'attrazione gravitazionale. V*2
= 2G(M+m)/d. Dove d è la distanza fra loro in ogni istante. Ti saluto
Antonio De Marco