forza centrifuga

[Ludovico]

Salve,
volevo chiedervi se la forza centrifuga (una forza apparente) è una
forza conservativa.

Grazie in anticipo,
Ludovico

[argo]

Post by Ludovico
Salve,
volevo chiedervi se la forza centrifuga (una forza apparente) è una
forza conservativa.

Direi di si':
F=mw^2r=-grad( -1/2mw^2 r^2)
con r=r(x,y,z) il vettore posizione, w velocita' angolare del sistema
ruotante, r^2=x^2+y^2+z^2.
Quindi l'energia potenziale della forza centrifuga e' U(r)-1/2mw^2r^2+cost.

Saluti.

[Ludovico]

Post by argo
F=mw^2r=-grad( -1/2mw^2 r^2)
con r=r(x,y,z) il vettore posizione, w velocita' angolare del sistema
ruotante, r^2=x^2+y^2+z^2.
Quindi l'energia potenziale della forza centrifuga e' U(r)-1/2mw^2r^2+cost.

Scusa argo, grazie intanto per la risposta, considera però l'esempio
del seguente generatore di corrente: un disco conduttore che ruota
attorno al proprio asse con velocità angolare costante, allora in
condizioni stazionarie c'è una differenza di potenziale tra il centro
ed il bordo del cilindro. Collegato il disco ad un circuito esterno
mediante un contatto strisciante sul bordo ed un altro contatto fisso
sull'asse, il disco si comporta come un generatore di f.e.m. e nel
circuito circola corrente. La f.e.m. avendoi origine in un riferimento
(non inerziale) solidale col disco dalla forza centrifuga (una forza
apparente!). Dunque, siccome la forza centrifuga dà origine alla
f.e.m. , la forza centrifuga non è conservativa.

D'altra parte, se il contatto strusciante non fosse strusciante e fosse
anch'esso saldato al bordo del disco, tutto il circuito ruoterebbe con
quello che prima era un generatore, e nel circuito non scorrerebbe più
corrente. Dunque, in questo caso, la f.e.m., ossia il lavoro fatto dal
generatore sull'unità di carica per percorrere l'intero circuito
sarebbe nulla, e la forza centrifuga sarebbe conservativa,....

Che cosa ne pensate di quanto ho scritto...? Potete aiutarmi a fare
chiarezza?

Grazie in anticipo, ciao,
Ludo

[Josef K.]

Post by Ludovico

Post by argo
F=mw^2r=-grad( -1/2mw^2 r^2)
con r=r(x,y,z) il vettore posizione, w velocita' angolare del sistema
ruotante, r^2=x^2+y^2+z^2.
Quindi l'energia potenziale della forza centrifuga e' U(r)-1/2mw^2r^2+cost.

Scusa argo, grazie intanto per la risposta, considera però l'esempio
del seguente generatore di corrente: un disco conduttore che ruota
attorno al proprio asse con velocità angolare costante, allora in
condizioni stazionarie c'è una differenza di potenziale tra il centro
ed il bordo del cilindro.

E perchè mai ci sarebbe una differenza di potenziale?

[argo]

Post by Ludovico
Scusa argo, grazie intanto per la risposta, considera però l'esempio
del seguente generatore di corrente: un disco conduttore che ruota
attorno al proprio asse con velocità angolare costante, allora in
condizioni stazionarie c'è una differenza di potenziale tra il centro
ed il bordo del cilindro.

Ok

Post by Ludovico
Collegato il disco ad un circuito esterno
mediante un contatto strisciante sul bordo ed un altro contatto fisso
sull'asse, il disco si comporta come un generatore di f.e.m. e nel
circuito circola corrente. La f.e.m. avendoi origine in un riferimento
(non inerziale) solidale col disco dalla forza centrifuga (una forza
apparente!). Dunque, siccome la forza centrifuga dà origine alla
f.e.m. , la forza centrifuga non è conservativa.
D'altra parte, se il contatto strusciante non fosse strusciante e fosse
anch'esso saldato al bordo del disco, tutto il circuito ruoterebbe con
quello che prima era un generatore, e nel circuito non scorrerebbe più
corrente. Dunque, in questo caso, la f.e.m., ossia il lavoro fatto dal
generatore sull'unità di carica per percorrere l'intero circuito
sarebbe nulla, e la forza centrifuga sarebbe conservativa,....

Intanto volevo precisare un punto del mio post precedente:
l'espressione di forza centrifuga, e quindi di energia potenziale, che
ho scritto si riferisce al caso specifico (al quale mentalemente faccio
sempre riferimento quando sento parlare di forze apparenti)di un
vettore r ortogonale al vettore w di rotazione. Nel caso piu' generale
c'e' anche un pezzo tipo -w*w*r dove * e' il prodotto vettoriale. La
conclusione sulla conservazione pero' e' la stessa: e' una forza
apparente conservativa di energia potenziale
U=m/2[-w^2r^2+(w.r)^2]

Venedo al tuo esempio, sono d'accordo che se i contatti sono anch'essi
solidali al disco ruotante non c'e' fem perche' anche nei contatti e'
presente la forza centrifuga conservativa.
Invece con il contatto strisciante direi che c'e' passaggio di corrente
proprio perche' nei contatti solidali al sistema inerziale non c'e' la
forza centrifuga e questa assenza permette di passare da zone di
diverso potenziale (centro del disco al bordo) senza compiere lavoro.

Saluti.

[Ludovico]

argo ha scritto:

-cut

Post by argo
Venedo al tuo esempio, sono d'accordo che se i contatti sono anch'essi
solidali al disco ruotante non c'e' fem perche' anche nei contatti e'
presente la forza centrifuga conservativa.

bene

Post by argo
Invece con il contatto strisciante direi che c'e' passaggio di corrente
proprio perche' nei contatti solidali al sistema inerziale non c'e' la
forza centrifuga

Ok

Post by argo
e questa assenza permette di passare da zone di
diverso potenziale (centro del disco al bordo) senza compiere lavoro.

Ti chiedo cortesemente di essere più preciso in questo punto. Se la
forza centrifuga è una forza conservativa, perché in questo caso
gioca il ruolo di una forza non corsevativa?

Grazie, saluti,
Ludo

[argo]

Ludovico wrote:
[...]

Post by Ludovico
Ti chiedo cortesemente di essere più preciso in questo punto. Se la
forza centrifuga è una forza conservativa, perché in questo caso
gioca il ruolo di una forza non corsevativa?

In effetti parlare di forze centrifughe senza dire quale e' il sistema
di rif. non e' molto preciso.
La mia interpretazione e' che nel sistema non inerziale c'e' si' la
forza centrifuga conservativa ma e' presente anche la reazione
vincolare non conservativa del contatto strisciante che in questo
sistema ruota di velocita' -w: le forze su un elettrone che fa un
percorso chiuso nel piano del disco sono a lavoro nullo, invece non
sono a lavoro nullo le forze agenti su un elettrone il cui percorso
chiuso passa per il contatto.
Spero di averti risposto (o almeno di non aver detto fesserie)

Saluti.

[Ludovico]

Ciao Argo,
più semplicemente, ripensandoci, penso di aver capito l'inghippo,
dimmi, se ti va, se ti pare convincente: nel riferimento rotante
solidale col disco la forza centrifuga, che è una forza conservativa,
fa lavoro non nullo perché si calcola l'integrale della forza
centrifuga su di un cammino (indipendentemente dal cammino!) che va dal
centro del disco al contatto strisciante, dunque su un cammino che NoN
è chiuso.

D'altra parte, se ruota tutto il circuito, saldando il contatto
strisciante al disco rotante, allora l'integrale della forza centrifuga
stavolta esteso a tutto il circuito (il circuito diventa
indistinguibile dal generatore) è nullo, proprio perché la forza
centrifuga è conservativa, appunto. In effetti le cariche dentro una
pila non collegata ad alcun circuito esterno sono all'equilibrio.

Ciao e grazie a tutti per tutti i vostri passati e (spero!) futuri
suggerimenti,
Ludo

[argo]

Post by Ludovico
Ciao Argo,
più semplicemente, ripensandoci, penso di aver capito l'inghippo,
dimmi, se ti va, se ti pare convincente: nel riferimento rotante
solidale col disco la forza centrifuga, che è una forza conservativa,
fa lavoro non nullo perché si calcola l'integrale della forza
centrifuga su di un cammino (indipendentemente dal cammino!) che va dal
centro del disco al contatto strisciante, dunque su un cammino che NoN
è chiuso.

Pero' per valutare la fem devi fare un circuito chiuso. Come dicevo,
secondo me, il lavoro non nullo nel sistema ruotante lungo un percorso
chiuso e' dato dalla reazione vincolare del circuito strisciante. Tutte
le altre forze sono conservative e non contribuiscono.

Post by Ludovico
D'altra parte, se ruota tutto il circuito, saldando il contatto
strisciante al disco rotante, allora l'integrale della forza centrifuga
stavolta esteso a tutto il circuito (il circuito diventa
indistinguibile dal generatore) è nullo, proprio perché la forza
centrifuga è conservativa, appunto.

E' conservativa anche nel caso del contatto strisciante non saldato,
ora invece saldandolo cambia il fatto che la reazione vincolare non fa
piu' lavoro e la fem e' zero.

Saluti.

[Giorgio Bibbiani]

Post by Ludovico

Post by argo
F=mw^2r=-grad( -1/2mw^2 r^2)
con r=r(x,y,z) il vettore posizione, w velocita' angolare del sistema
ruotante, r^2=x^2+y^2+z^2.
Quindi l'energia potenziale della forza centrifuga e' U(r)-1/2mw^2r^2+cost.

Scusa argo, grazie intanto per la risposta, considera però l'esempio
del seguente generatore di corrente: un disco conduttore che ruota
attorno al proprio asse con velocità angolare costante, allora in
condizioni stazionarie c'è una differenza di potenziale tra il centro
ed il bordo del cilindro. Collegato il disco ad un circuito esterno
mediante un contatto strisciante sul bordo ed un altro contatto fisso
sull'asse, il disco si comporta come un generatore di f.e.m. e nel
circuito circola corrente. La f.e.m. avendoi origine in un riferimento
(non inerziale) solidale col disco dalla forza centrifuga (una forza
apparente!). Dunque, siccome la forza centrifuga dà origine alla
f.e.m. , la forza centrifuga non è conservativa.
D'altra parte, se il contatto strusciante non fosse strusciante e fosse
anch'esso saldato al bordo del disco, tutto il circuito ruoterebbe con
quello che prima era un generatore, e nel circuito non scorrerebbe più
corrente. Dunque, in questo caso, la f.e.m., ossia il lavoro fatto dal
generatore sull'unità di carica per percorrere l'intero circuito
sarebbe nulla, e la forza centrifuga sarebbe conservativa,....

Provo a spiegare cosa succede a mio parere, gradirei osservazioni,
in particolare su come si possa definire la f.e.m. in un
riferimento non inerziale.

A) Descriviamo, relativamente al riferimento solidale al disco rotante, il moto
di un elettrone che percorre il circuito (circuito esterno solidale al laboratorio).

Il disco metallico contiene elettroni di conduzione che sono sostanzialmente
liberi di muoversi all'interno del disco, quando il disco e' in rotazione parte degli
elettroni di conduzione, che sono soggetti alla forza centrifuga, si accumulano
sul bordo del disco; a circuito aperto e in condizioni di equilibrio si genera
tra asse e bordo del disco una differenza di potenziale L / e
(L = 1/2 m w^2 r^2, e = carica elementare), in modo che la forza centrifuga
che agisce su un elettrone sia equilibrata dalla forza elettrostatica
(l'asse del disco e' a un potenziale maggiore rispetto al bordo).
Quando chiudiamo il circuito con il contatto strisciante sul bordo collegato a un
carico ad es. resistivo che sia a riposo nel riferimento non rotante del laboratorio,
a sua volta collegato con l'asse del disco, gli elettroni incominciano a fluire nel
circuito.
Quando un elettrone si sposta dall'asse verso il bordo il campo elettrico
esegue un lavoro -L e la forza centrifuga un lavoro L.
L'elettrone che si trova al bordo del disco con velocita' nulla,
passa nel circuito esterno attraverso il contatto strisciante, acquista
rispetto al disco una velocita' w r e una corrispondente energia cinetica L,
dunque il contatto strisciante ha eseguito un lavoro sull'elettrone,
l'elettrone attraversa poi il circuito esterno e dissipa per effetto Joule l'energia
L fornitagli dal campo elettrico mentre la forza centrifuga gli sottrae l'energia
cinetica L, poi rientra dall'asse del disco.
Qual e' il bilancio energetico di questo processo?
La forza centrifuga ha eseguito un lavoro totale nullo (infatti e' conservativa),
la forza di Coriolis ha eseguito un lavoro nullo (e' ortogonale alla velocita'),
il campo elettrostatico ha eseguito un lavoro totale nullo (e' conservativo),
la forza che il contatto strisciante ha esercitato sull'elettrone ha eseguito
un lavoro positivo L, la forza dissipativa corrispondente
all'effetto Joule ha eseguito un lavoro negativo -L.
Se definisco la f.e.m. misurata nel riferimento rotante come il lavoro
eseguito sulla unita' di carica necessario per risalire la barriera
di potenziale elettrostatico *all'interno del disco* (cioe' per trasferire una
carica unitaria dall'asse al bordo), a circuito "aperto", vale L / e.

B) Descriviamo adesso lo stesso processo relativamente al riferimento
inerziale del laboratorio.

Tra l'asse e il bordo del disco e' presente una differenza di potenziale
elettrostatico L / e (infatti il campo elettrostatico e' in approssimazione
non relativistica lo stesso nel riferimento rotante e in quello del laboratorio),
quando un elettrone si sposta dall'asse al bordo del disco acquista una
energia cinetica L (il corpo del disco rotante esegue sull'elettrone un lavoro 2L,
il campo elettrico un lavoro -L) che gli viene sottratta quando attraverso
il contatto strisciante passa nel circuito solidale al laboratorio.
Quando l'elettrone attraversa il carico resistivo, dissipa per effetto Joule l'energia
L fornitagli dal campo elettrico, e infine rientra dall'asse del disco.
Il campo elettrostatico ha eseguito sull'elettrone un lavoro totale nullo, il corpo del disco
un lavoro 2L, la forza esercitata dal contatto un lavoro -L, le forze dissipative
nel carico resistivo un lavoro -L.
Se definisco la f.e.m. nel riferimento del laboratorio come il lavoro eseguito
sulla unita' di carica necessario per risalire la barriera di potenziale
elettrostatico quando la carica passa *dall'asse al contatto fisso nel laboratorio*,
a circuito "aperto", questa vale ancora L / e.

Ciao

[Elio Fabri]

Non ho letto con grandissima attenzione tutto il thread, ma non ho
trovato un ragionamento che mi convincesse da cima a fondo.
Pertanto preferisco proporvi ex-novo la mia soluzione.

Mettiamoci nel rif. del disco. Intanto in questo rif. gli elettroni
possono avere solo velocita' radiale, perche' ogni moto (medio) in
senso tangenziale viene immediatamente smorzato dalla resistivita' non
nulla del materiale.

La forza agente su un elettrone (a parte quella dovuta all'interazione
col reticolo, che schematizzero' poi con la resistivita') si scrive

F = -eE+ mw^2 r (F, E e r sono vettori)

(La f. di Coriolis e' trascurabile perche' il moto di deriva
degli elettroni e' comunque lentissimo.)

Scrivo F = -eE*, con E* = E - (m w^2/e) r campo efficace.
Per la densita' di corrente avro' j = sE* (s sta per sigma).

Invece del disco mi conviene pensare a un cilindro di altezza h molto
maggiore del raggio, perche' allora tutti i vettori sono radiali.
Da qui poi quindi scrivo tutto in termini delle componenti radiali
(positive verso l'esterno).

L a conservazione della carica (in condizioni stazionarie) richiede rj
= cost.
La corrente totale e' I = 2 pi hrj, quindi j = I/(2 pi hr),
E* = I/(2 pi shr).

Dunque
E = I/(2 pi shr) + (m w^2/e) r.

A questo punto mi metto nel rif. del laboratorio (E e' praticamente lo
stesso). Ricavo il potenziale:

V(r) = -I/(2 pi sh) ln(r) - (m w^2 /(2e)) r^2.

Se i due contatti striscianti stanno sull'asse (raggio a) e sul bordo
(raggio b) ottengo per la d.d.p:

DV = V(b) - V(a) = -I/(2 pi sh) ln(b/a) - (m w^2 /(2e)) (b^2 - a^2).

La legge di Ohm sul circuito esterno richiede DV = RI (DV e I sono
entrambe negative) e quindi

RI = -I/(2 pi sh) ln(b/a) - (m w^2 /(2e)) (b^2 - a^2).

(R + ln(b/a)/(2 pi sh)) I = -(m w^2 /(2e)) (b^2 - a^2).

Se R e' abbastanza grande possiamo trascurare il secondo termine nella
parentesi a primo membro (che e' una res. piccolissima con valori
ragionevoli dei parametri) e otteniamo

R |I| = (m w^2 /(2e)) (b^2 - a^2).

Il primo membro e' il lavoro fatto per unita' di carica sul circuito
esterno; il secondo membro e' il lavoro fatto (sempre per unita' di
carica) dalla f. centrifuga.

Non vedo pero' una scorciatoia convincente per arrivare a questo
risultato.
E non capisco che cosa sarebbe "il lavoro della reazione vincolare".

[argo]

Elio Fabri wrote:
[...]

Post by Elio Fabri
Non vedo pero' una scorciatoia convincente per arrivare a questo
risultato.
E non capisco che cosa sarebbe "il lavoro della reazione vincolare".

Volevo dire che nel sistema del disco ruotante un elettrone che passa
attraverso il tratto di circuito che ruota a velocita' -w, dal contatto
striscianteal bordo del disco fino al centro, avra' una velocita' non
ortogonale alla forza ( che chiamo reazione vincolare perche' se non
conto l'attrito sono nel piano ortogonale al tratto di filo) che il
tratto di circuito esercita su di lui. Si capisce che velocita'
dell'elettrone e reazione vincolare non sono perpendicolari notando ad
esempio che la traiettoria dell'elettrone non sara' radiale ma sara'
una qualche spirale, mentre la reazione vincolare sara' tangenziale.
Quindi la reazione vincolare fara' lavoro. Gli altri contributi al
lavoro vengono da forze, elettrica e centrifuga, che sono conservative
e quindi in un percorso chiuso per calcolare la fem non contribuiscono.

Mi sbaglio?
Se il ragionamento fosse corretto sarebbe una scorciatoia almeno per il
risultato qualitativo :)

Saluti.

[Elio Fabri]

Post by argo
Volevo dire che nel sistema del disco ruotante un elettrone che passa
attraverso il tratto di circuito che ruota a velocita' -w,
...
Se il ragionamento fosse corretto sarebbe una scorciatoia almeno per
il risultato qualitativo :)

Puo' anche darsi che sia corretto, ma io - pur avendolo riletto piu'
di una volta - non sono riuscito a capirlo.
Sara' la vecchiaia?

[argo]

Post by Elio Fabri
Puo' anche darsi che sia corretto, ma io - pur avendolo riletto piu'
di una volta - non sono riuscito a capirlo.
Sara' la vecchiaia?

Direi che invece dipende da me, solitamente quando non si capisce
qualcosa che cerco di illlustare e' perche' in realta' non ce l'ho
molto chiaro.

Provo, cercando di essere piu' chiaro almeno figurativamente, a fare un
paragone del nostro sistema con un esercizio classico.
Credo tutto sommato non ci sia molta differenza tra quello che io
chiamo ''il lavoro della reazione vincolare'' del tratto di circuito
ruotante (nel sitema del disco fermo), ed ''il lavoro della reazione
vincolare'' di una scalinatura di un disco ruotante su una biglia che
si allontana dal centro. Anche in quel caso, come nel nostro sistema,
la velocita' del corpo non e' radiale (il moto e' una spirale) e la
velocita' non e' ortogonale alla forza della scalinatura.
Nel nostro caso il tratto di circuito ruotante gioca la parte della
scalinatura e l'elettrone quello della biglia. La reazione vincolare
non e' nulla (vincola il moto dell'elettrone) ma non e' nullo neppure
il lavoro che fa.

Saluti.

[Pangloss]

L'unica cosa che mi pare veramente chiara e' che tra l'asse ed i bordi di un
disco metallico di raggio r rotante con velocita' angolare w si stabilisce
'teoricamente' una differenza di potenziale:
DeltaV = (m/2e)w^2r^2
come banale conseguenza della formula:
eE = mw^2r
Ovviamente e' indifferente considerare tale relazione come legge F=ma
in un riferimento inerziale con F=eE centripeta ed elettroni in orbita
circolare oppure come legge statica di equilibrio tra la forza elettrica
e quella centrifuga in un sistema rotante solidale al disco.

Anche su quello che dovrebbe capitare chiudendo il circuito con due contatti
striscianti (aut con due contatti solidali) mi pare che siamo tutti concordi.
Visti i valori numerici in gioco suppongo comunque che il tuo 'generatore'
sia solo un Geganken-Experiment. Non credo che tale esperienza sia mai stata
effettivamente realizzata o mi sbaglio?

Per il resto questo thread non fa che accrescere la mia diffidenza verso
l'uso un po' ambiguo del concetto di fem. Vorrei una definizione rigorosa
e generale, applicabile sia ai circuiti chiusi (in particolare alla teoria
della legge di Faraday), che ai generatori bipolari reali ed al tuo
generatore centrifugo. Cosa proponi?