Per fisici matematici: spazio vettoriale tangente ad una varieta'

[Scarabeo]

Ciao a tutti,
ho una domanda per gli esperti di geometria differenziale:

Non ho problemi a capire, da un punto di vista rigoroso e formale, le
varie possibili definizioni intrinsiche di vettori e spazi vettoriali
tangenti ad punto di una varieta' differerenziale. Tanto per
concretizzare, prendiamo come vettore un generico operatore
differenziale esprimibile in termini di derivate parziali delle
funzioni coordinate di una carta.

Vengo adesso alle mie perplessita': quando la teoria matematica si
applica a situazioni fisiche, questi vettori astratti devono essere
precisati nella loro natura. Supponiamo di essere la formichina che
vive sulla sfera oppure noi stessi che percepiamo i fenomeni fisici in
un intorno dello spazio-tempo: da questa definizione astratta, come
arriviamo a qualcosa di concreto? Se avete altri esempi, please,
siete i benvenuti.

Grazie a tutti!
Scarabeo

[Valter Moretti]

Post by Scarabeo
Ciao a tutti,
Non ho problemi a capire, da un punto di vista rigoroso e formale, le
varie possibili definizioni intrinsiche di vettori e spazi vettoriali
tangenti ad punto di una varieta' differerenziale. Tanto per
concretizzare, prendiamo come vettore un generico operatore
differenziale esprimibile in termini di derivate parziali delle
funzioni coordinate di una carta.
Vengo adesso alle mie perplessita': quando la teoria matematica si
applica a situazioni fisiche, questi vettori astratti devono essere
precisati nella loro natura. Supponiamo di essere la formichina che
vive sulla sfera oppure noi stessi che percepiamo i fenomeni fisici in
un intorno dello spazio-tempo: da questa definizione astratta, come
arriviamo a qualcosa di concreto? Se avete altri esempi, please,
siete i benvenuti.
Grazie a tutti!
Scarabeo

Ci sono un mucchio di possibilita': pensa alla velocita' oppure
all'accelerazione di punto materiali. Sarebbe meglio, nello
spaziotempo relativistico, pensare alla quadrivelocita' ed alla
quadriaccelerazione. Lavorando in fisica classica, lo spaziotempo ha
una struttura piu' complicata di una varieta' differenziabile: e' un
fibrato sulla retta del tempo R, le cui fibre (spazi assoluti al tempo
fissato) sono spazi affini dotati di prodotto scalare...Anche in quel
caso puoi pensare alle velocita' ed accelerazioni di punti materiali
che pero' diventano tangenti a queste fibre (e dipendono dalla scelta
di un riferimento per essere definite...)
Un po' di queste cose le spiego ai miei studenti, nel corso di
meccanica.
Trovi le dispense qui
http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html
sono le prime che appaiono.

Ciao, Valter

[Pangloss]

Post by Scarabeo
Non ho problemi a capire, da un punto di vista rigoroso e formale, le
varie possibili definizioni intrinsiche di vettori e spazi vettoriali
tangenti ad punto di una varieta' differerenziale. Tanto per
concretizzare, prendiamo come vettore un generico operatore
differenziale esprimibile in termini di derivate parziali delle
funzioni coordinate di una carta.
Vengo adesso alle mie perplessita': quando la teoria matematica si
applica a situazioni fisiche, questi vettori astratti devono essere
precisati nella loro natura.

Sottoscrivo.
Il vero problema non e' quello di rendere le definizioni piu' intuitive
(sotto l'aspetto didattico), ma e' quello di non omettere gli elementi
formali necessari per consentire una successiva interpretazione fisica
della struttura matematica senza gravi lacune logico-semantiche.

E' vero che al matematico interessano solo le proprieta' "manipolatorie"
degli oggetti definiti, in altre parole che strutture isomorfe possono
venire tranquillamente "identificate".
Credo di essere in grado di definire rigorosamente in almeno tre modi
diversi lo spazio tangente (ed in altrettanti lo spazio cotangente) e
posso provare (a posteriori!) che i vari spazi tangente (aut cotangente)
sono fra loro isomorfi (in modo naturale, indipendente dalla carta),
insomma che dal punto di vista matematico-sintattico siano lo stesso
oggetto.

Nell'interpretazione fisica pero' non posso appoggiarmi con altrettanta
disinvoltura ad una definizione oppure all'altra.
Ad esempio quando nello spazio-tempo sono fisicamente alle prese con
direzioni, angoli, curve ecc. devo pensare ai vettori tangente in termini
geometrici come classi di equivalenza tra curve e non certo in termini di
astratti operatori differenziali.

Tutto va bene se mi sono note le varie strutture sintatticamente isomorfe.
Se pero' il matematico, per non appesantire la trattazione (dal suo punto
di vista) definisce i vettori tangente solo come operatori differenziali
e le forme differenziali solo come elementi dello spazio cotangente duale,
l'interpretazione fisica rischia di diventare un atto di fede.

Post by Scarabeo
Se avete altri esempi, please, siete i benvenuti.

Ne ho, perche' il problema riguarda in generale l'interpretazione fisica
delle strutture matematiche. Temo pero' che quanto ho detto sopra non
riscuota l'approvazione di firme ben piu' autorevoli della mia.

[Valter Moretti]

Post by Pangloss
Sottoscrivo.
Il vero problema non e' quello di rendere le definizioni piu' intuitive
(sotto l'aspetto didattico), ma e' quello di non omettere gli elementi
formali necessari per consentire una successiva interpretazione fisica
della struttura matematica senza gravi lacune logico-semantiche.

Ciao, hai ragione che spesso si omette questo punto. Ma questo NON
deve essere fatto quando si definiscono gli enti geometrici, ma quando
li si applicano. Per esempio, ieri cercavo di spiegare a lezione, in
un esempio, come si possa verificare in pratica che il tensore di
curvatura dello spaziotempo sia nullo in una data regione. Sono
problemi che uno si deve porre, nel momento in cui applica la
matematica. Un altro problema interessante è, come sia possibile
costruire una geodetica e delle figure geometriche in grande per
vedere se la geometria spaziale sia piatta o no. Per esempio costruire
una sfera e verificare se il rapporto tra superficie e raggio sia
quello che dice la geometria euclidea oppure no. Come si costruisce
una sfera abbastanza grande (parlo di esperimenti ideali ovviamente)?

Post by Pangloss
Nell'interpretazione fisica pero' non posso appoggiarmi con altrettanta
disinvoltura ad una definizione oppure all'altra.
Ad esempio quando nello spazio-tempo sono fisicamente alle prese con
direzioni, angoli, curve ecc. devo pensare ai vettori tangente in termini
geometrici come classi di equivalenza tra curve e non certo in termini di
astratti operatori differenziali.

In realtà, in pratica contano solo le componenti ed il fatto che
queste si trasformino in modo "vettoriale", questa è l'unica cosa che
secondo me si usa.

Post by Pangloss
Tutto va bene se mi sono note le varie strutture sintatticamente isomorfe.
Se pero' il matematico, per non appesantire la trattazione (dal suo punto
di vista) definisce i vettori tangente solo come operatori differenziali
e le forme differenziali solo come elementi dello spazio cotangente duale,
l'interpretazione fisica rischia di diventare un atto di fede.

Come dicevo sopra, lavorando in componenti è tutto la stessa cosa, e
non si pone alcun problema. Però forse si arriva a questa conclusione
dopo avere smanettato un pò sia in teoria pura che nelle
applicazioni... e forse quindi sarebbe sempre bene presentare
applicazioni alla fisica, oppure alla geometria, delle definizioni
formali astratte.

Post by Pangloss

Post by Scarabeo
Se avete altri esempi, please, siete i benvenuti.

Ne ho, perche' il problema riguarda in generale l'interpretazione fisica
delle strutture matematiche. Temo pero' che quanto ho detto sopra non
riscuota l'approvazione di firme ben piu' autorevoli della mia.

Per quanto mi riguarda hai detto cose pienamente condivisibili.
Ciao, Valter

[Valter Moretti]

Post by Valter Moretti

Post by Pangloss
Ne ho, perche' il problema riguarda in generale l'interpretazione fisica
delle strutture matematiche. Temo pero' che quanto ho detto sopra non
riscuota l'approvazione di firme ben piu' autorevoli della mia.

Per quanto mi riguarda hai detto cose pienamente condivisibili.
Ciao, Valter

Volevo ancora dire una cosa. Forse da quello che ho scritto tempo fa,
potrebbe sembrare che io propenda per definire i vettori dello spazio
tangente come operatori differenziali e saltare completamente l'idea
delle classi di equivalenza di curve e roba simile. Non è così.
Preferisco definirli come operatori, ma poi torno alle curve, nel
senso che:
(1) faccio vedere che ogni curva si porta dietro, in ogni punto, un
vettore tangente (pensato però come operatore) e
(2) faccio vedere che *nel caso in cui la varietà sia uno spazio
affine*, c'è un isomorfismo canonico tra questi spazi tangenti di
operatori e i vettori dello spazio delle traslazioni (differenze di
punti). Nel caso delle curve, mostro che il vettore tangente è proprio
isomorfo a quello che si ottiene con il rapporto incrementale. Questa
strada come tempo porta via più o meno lo stesso tempo
dell'introduzione dei vettori tramite le classi di equivalenza di
curve, ma in realtà mostra molte più cose ed in modo trasversale...
(mostra la struttura naturale di varietà differenziabile degli spazi
affini, mostra la differenza tra vettori liberi e vettori applicati e
come sopravvivano solo i secondi quando si passa dagli spazi affini
alle varietà [e questo è un discorso preparatorio alla teoria delle
connessioni], mostra che i vettori siano anche pensabili come
operatori differenziali e, infine, mostra che, "in componenti, sia
tutto la stessa cosa").

Ciao, Valter

Ciao, Valter

[Pangloss]

Post by Valter Moretti

Post by Valter Moretti
Per quanto mi riguarda hai detto cose pienamente condivisibili.
Ciao, Valter

Volevo ancora dire una cosa. Forse da quello che ho scritto tempo fa,
potrebbe sembrare che io propenda per definire i vettori dello spazio
tangente come operatori differenziali e saltare completamente l'idea
delle classi di equivalenza di curve e roba simile. Non è così.
Preferisco definirli come operatori, ma poi torno alle curve, nel
(1) faccio vedere che ogni curva si porta dietro, in ogni punto, un
vettore tangente (pensato però come operatore) e
(2) faccio vedere che *nel caso in cui la varietà sia uno spazio
affine*, c'è un isomorfismo canonico tra questi spazi tangenti di
operatori e i vettori dello spazio delle traslazioni (differenze di
punti). Nel caso delle curve, mostro che il vettore tangente è proprio
isomorfo a quello che si ottiene con il rapporto incrementale. Questa
strada come tempo porta via più o meno lo stesso tempo
dell'introduzione dei vettori tramite le classi di equivalenza di
curve, ma in realtà mostra molte più cose ed in modo trasversale...
(mostra la struttura naturale di varietà differenziabile degli spazi
affini, mostra la differenza tra vettori liberi e vettori applicati e
come sopravvivano solo i secondi quando si passa dagli spazi affini
alle varietà [e questo è un discorso preparatorio alla teoria delle
connessioni], mostra che i vettori siano anche pensabili come
operatori differenziali e, infine, mostra che, "in componenti, sia
tutto la stessa cosa").

Sottoscrivo con entusiasmo quest'impostazione.
Temevo di non potere entrare bene in sintonia con il tuo pensiero, fatto
che mi creava un certo disagio, vista la tua indiscussa autorevolezza in
materia. Grazie per le esaurienti risposte.

[Elio Fabri]

...
Temo pero' che quanto ho detto sopra non riscuota l'approvazione di
firme ben piu' autorevoli della mia.

La mia firma non e' assolutamente autorevole in materia, sia perche'
sono un fisico :-) sia perche' tutto sommato non ho praticato molto
questa parte della matematica: in pratica ne ho imparato qualcosa solo
quando mi sono messo a insegnare rel. generale.

Con questa riserva comunque sono d'accordo con te.
Lo potresti verificare guardando gli appunti delle mie lezioni, ma in
realta' le lezioni dal vivo erano molto piu' diffuse sulla questione
dell'interpretazione intuitiva e anche sulla motivazione di quelle
strutture matematiche.

Ciao, hai ragione che spesso si omette questo punto. Ma questo NON
deve essere fatto quando si definiscono gli enti geometrici, ma quando
li si applicano.

Se ho capito bene non sono del tutto d'accordo.
Come ho appena scritto, c'e' il problema della _motivazione_.
*Perche'* si scelgono certe strutture e certe definizioni?

So bene che si puo' logicamente sostenere l'assoluta arbitrarieta'
delle une e delle altre, ma nella realta' tuttavia sono sempre state
fatte delle scelte e non altre.
Nel nostro caso ad es. il problema nasce quando si cerca di trasferire
su una varieta' curva gli enti che ci sono familiari nel caso
euclideo: che c... diventa un vettore?

Da questo punto di vista la definizione come classe di equivalenza di
curve tangenti tra loro suona una generalizzazione non dico naturale
ma abbastanza comprensibile.
Quella come operatore differenziale a me, quando l'ho vista per la
prima volta, e' apparsa semplicemente geniale.
Anche trasmettere queste impressioni e punti di vista mi sembra abbia
valore nell'insegnamento.

...
In realtà, in pratica contano solo le componenti ed il fatto che
queste si trasformino in modo "vettoriale", questa è l'unica cosa che
secondo me si usa.

Di questo non sono convinto, e non da oggi: e' una convinzione che mi
sono formata quando ho cominciato a insegnare mecc. quantistica,
all'incirca 40 anni fa.

Detta in termini assai sintetici, la mia opinione e' che in molti casi
i corrispettivi piu' immediati di certi enti della fisica stia in
strutture matematiche relativamente astratte (l'esempio dei "vettori di
stato" e' evidente) mentre l'adozione di rappresentazioni particolari
(le componenti di cui parli, o le funzioni d'onda della m.q.) introduce
elementi estranei che possono "ostruire" la comprensione della stesa
teoria fisica.

[Valter Moretti]

Post by Elio Fabri
La mia firma non e' assolutamente autorevole in materia, sia perche'
sono un fisico :-) sia perche' tutto sommato non ho praticato molto
questa parte della matematica: in pratica ne ho imparato qualcosa solo
quando mi sono messo a insegnare rel. generale.

Ciao, non sono convinto che la mia sia una firma più autorevole: anche
io sono un fisico
alla fine (o forse "al principio" suonerebbe meglio) e uso
semplicemente queste cose di cui parliamo, non le creo come i "veri"
matematici.

Post by Elio Fabri
Con questa riserva comunque sono d'accordo con te.
Lo potresti verificare guardando gli appunti delle mie lezioni, ma in
realta' le lezioni dal vivo erano molto piu' diffuse sulla questione
dell'interpretazione intuitiva e anche sulla motivazione di quelle
strutture matematiche.
Valter Moretti ha scritto:> Ciao, hai ragione che spesso si omette questo punto. Ma questo NON

Post by Valter Moretti
deve essere fatto quando si definiscono gli enti geometrici, ma quando
li si applicano.

Se ho capito bene non sono del tutto d'accordo.
Come ho appena scritto, c'e' il problema della _motivazione_.
*Perche'* si scelgono certe strutture e certe definizioni?
So bene che si puo' logicamente sostenere l'assoluta arbitrarieta'
delle une e delle altre, ma nella realta' tuttavia sono sempre state
fatte delle scelte e non altre.
Nel nostro caso ad es. il problema nasce quando si cerca di trasferire
su una varieta' curva gli enti che ci sono familiari nel caso
euclideo: che c... diventa un vettore?

Ma io non dico che non bisogna dare motivazioni, io dico che io
preferisco darle negli esempi
(di solito nella stessa lezione in cui fornisco le definizioni) e non
mischiare queste cose con le definizioni, che preferisco dare in modo
del tutto svincolato dalle applicazioni.

Io ho notato che negli anni, si tende sempre a dare meno la
definizione tramite classe di equivalenza di curve e sempre di più
quella con gli operatori di derivazione.

Post by Elio Fabri
Da questo punto di vista la definizione come classe di equivalenza di
curve tangenti tra loro suona una generalizzazione non dico naturale
ma abbastanza comprensibile.
Quella come operatore differenziale a me, quando l'ho vista per la
prima volta, e' apparsa semplicemente geniale.

Anche a me e io ormai faccio solo quella, e poi introduco le curve ed
i vettori tangenti alle curve dopo. L'ho spiegato nell'altro post. Non
credo di perdere qualcosa, anzi probabilmente ci guadagnano gli
studenti (però devo spiegare lor davvero tutto quello che ho scritto).
La via tramite le classi di equivalenza è naturale, ma a volerla fare
bene è molto macchinosa e secondo me la tecnica (dimostrare davvero
che le definizioni sono ben poste) distoglie dalle idee che si
vogliono trasmettere.

Post by Elio Fabri
Anche trasmettere queste impressioni e punti di vista mi sembra abbia
valore nell'insegnamento.

Post by Valter Moretti
...
In realtà, in pratica contano solo le componenti ed il fatto che
queste si trasformino in modo "vettoriale", questa è l'unica cosa che
secondo me si usa.

Di questo non sono convinto, e non da oggi: e' una convinzione che mi
sono formata quando ho cominciato a insegnare mecc. quantistica,
all'incirca 40 anni fa.
Detta in termini assai sintetici, la mia opinione e' che in molti casi
i corrispettivi piu' immediati di certi enti della fisica stia in
strutture matematiche relativamente astratte (l'esempio dei "vettori di
stato" e' evidente) mentre l'adozione di rappresentazioni particolari
(le componenti di cui parli, o le funzioni d'onda della m.q.) introduce
elementi estranei che possono "ostruire" la comprensione della stesa
teoria fisica.
--
Elio Fabri

Forse su questo hai ragione, però ora sti parlanod di MQ che ha un
"oparadigma" molto diverso...
Ciao, Valter

[Scarabeo]

Elio, Valter, Elio,
grazie per i vostri competenti commenti. Forse a me serviva qualcosa
di piu' banale ancora. Provo a riformulare il mio dubbio. La
definizione con gli operatori differenziali mi sembra che semplifichi
lo sviluppo della teoria, mentre quella con classe di equivalenza di
curve si presta meglio a concretizzare i vettori. Ho capito bene?
Insomma, se uno mi dice "Tieni questo insieme M, i punti sono questi,
sono fatti cosi, sono delle "iperbanane"". Io mi faccio bene i conti e
vedo che l'insieme delle iperbanane ha la struttura di una varieta'
differenziale. Ma quali sono i vettori tangenti ad un "iperbanana"?
Bene, prendo una curva di iperbanane (il problema che sto cercando di
risolvere mi fara' capire che cosa sono le curve di iperbananane, mi
dara' cioe' anche il loro "senso" intuitivo etc). Poi mi calcolo le
derivate direzionali e le classi di equivalenza. Adesso posso tirare
un sospiro di sollievo: ho studiato la geometria differenziale, so che
sono di fronte ad uno spazio vettoriale (ancora una volta la
situazione concreta, il problema che sto affrontando etc mi guidera'
nel capire che cosa sono questi vettori in senso concreto, intuitivo
etc). Insomma, e' la natura dei punti della manifold , la loro
"l'iperbananita'" che mi guida ad una interpretazione "intuitiva"
delle varie costruzioni matematiche.

Sto dicendo sciocchezze (a parte l'iperbananita', siate clementi...)??
Grazie.
Scarabeo
PS: sono solo io a far fatica?? Ho chiesto a diversi fisici che
pubblicano etc e alcuni mi hanno confessato che o non usano questi
strumenti (cioe' usano la loro forma tensoriale classica) oppure non
li usano proprio oppure li usano in modo automatico perche'
"funzionano".

[Valter Moretti]

Post by Scarabeo
La
definizione con gli operatori differenziali mi sembra che semplifichi
lo sviluppo della teoria, mentre quella con classe di equivalenza di
curve si presta meglio a concretizzare i vettori. Ho capito bene?

Si, per uno che viene dalla geometria standard (quella analitica,
quella degli
elementi di Euclide), credo sia vero quello che dici.

Post by Scarabeo
Insomma, se uno mi dice "Tieni questo insieme M, i punti sono questi,
sono fatti cosi, sono delle "iperbanane"". Io mi faccio bene i conti e
vedo che l'insieme delle iperbanane ha la struttura di una varieta'
differenziale. Ma quali sono i vettori tangenti ad un "iperbanana"?
Bene, prendo una curva di iperbanane (il problema che sto cercando di
risolvere mi fara' capire che cosa sono le curve di iperbananane, mi
dara' cioe' anche il loro "senso" intuitivo etc). Poi mi calcolo le
derivate direzionali e le classi di equivalenza. Adesso posso tirare
un sospiro di sollievo: ho studiato la geometria differenziale, so che
sono di fronte ad uno spazio vettoriale (ancora una volta la
situazione concreta, il problema che sto affrontando etc mi guidera'
nel capire che cosa sono questi vettori in senso concreto, intuitivo
etc). Insomma, e' la natura dei punti della manifold , la loro
"l'iperbananita'" che mi guida ad una interpretazione "intuitiva"
delle varie costruzioni matematiche.

Ciao, si secondo me e' come dici, e' la situazione concreta che ti
aiutera' a capire cosa sono questi vettori in senso concreto. Pero'
dipende anche molto dal tipo di strutture matematiche con le quali uno
e' abituato a trattare.

A mio parere bisogna separare le due cose: avere le definizioni
astratte da una parte, ed il sacco degli esempi concreti nell'altra
mano (esempi che dipendono sia dall'esperienza, sia dai fini per i
quali uno studia la geometria differenziale: il topologo algebrico ed
il fisico matematica/teorico avranno esempi familari molto diversi).
Non e' facile, e solo un bel po' di esperienza consente di operare con
equilibrio tra i due. Comunque il fatto di avere anche il punto di
vista astratto aiuta molto a vedere strutture vecchie in posti
inaspettati di settori nuovi. Alcune idee della geometria non
commutativa sono esempi eclatanti di cio'.

Post by Scarabeo
Sto dicendo sciocchezze (a parte l'iperbananita', siate clementi...)??
Grazie.
Scarabeo
PS: sono solo io a far fatica??

All'inizio e' faticoso usare idee e strumenti astratti nuovi. Per
esempio io feci molta fatica quando studiai la la meccanica
quantistica la prima volta, ad entrare nel linguaggio dei vettori di
stato, ma anche perche' usavano un formalismo abbastanza pericoloso,
per i fraintendimenti che puo' generare, come la notazione di Dirac.
Con un po' di esperienza, buttato via tutto il ciarpame inutile, le
cose diventarono chiare.

Post by Scarabeo
Ho chiesto a diversi fisici che
pubblicano etc e alcuni mi hanno confessato che o non usano questi
strumenti (cioe' usano la loro forma tensoriale classica) oppure non
li usano proprio oppure li usano in modo automatico perche'
"funzionano".

Secondo me e' sicuramente una questione di pigrizia giustificata,
costa sempre un po' fare un salto di livello, specie se uno sta gia'
lavorando su altre cose. Probabilmente alle persone alle quali hai
chiesto queste idee le hanno insegnate in modo piu' "antiquato" (a me
le hanno insegnate in tutti i modi possibili e poi ci ho messo del mio
per lisciare ancora un po' il formalismo) e a loro e' sufficiente per
quello di cui si occupano.
Nel mio campo di ricerca (teorie di campo quantistiche relativistiche
in spaziotempo curvo) questo genere di formalismi sono meno del
livello zero, ma e' solo questione di abitudine.


Ciao, Valter

[Elio Fabri]

Post by Valter Moretti
Forse su questo hai ragione, però ora sti parlanod di MQ che ha un
"oparadigma" molto diverso...

Certo, ma il mio punto di vista lo ritengo valido in generale.

[Pangloss]

Post by Elio Fabri
Detta in termini assai sintetici, la mia opinione e' che in molti casi
i corrispettivi piu' immediati di certi enti della fisica stia in
strutture matematiche relativamente astratte (l'esempio dei "vettori di
stato" e' evidente) mentre l'adozione di rappresentazioni particolari
(le componenti di cui parli, o le funzioni d'onda della m.q.) introduce
elementi estranei che possono "ostruire" la comprensione della stesa
teoria fisica.

Durante una seduta spiritica ho ricevuto il seguente messaggio da parte
di un certo P.A.M.Dirac che pare essere stato una firma autorevole:

"Il metodo simbolico, pero', sembra approfondire di piu' la natura delle
cose. Esso permette di esprimere le leggi fisiche in maniera chiara e
concisa, e probabilmente verra' sempre piu' usato nel futuro, via via
che verra' meglio compreso e che verra' sviluppato lo speciale tipo di
matematica che gli e' proprio. Per questa ragione ho scelto il metodo
simbolico, introducendo gli insiemi rappresentativi solo piu' tardi,
come ausilio per i calcoli pratici."

[Elio Fabri]

Post by Pangloss
Durante una seduta spiritica ho ricevuto il seguente messaggio da
parte di un certo P.A.M.Dirac che pare essere stato una firma
"Il metodo simbolico, pero', sembra approfondire di piu' la natura
delle cose.
...

Sono rimasto colpito a leggere queste parole, perche' ho appreso (non
in una seduta spiritica, ma piu' prosaicamente sfogliando un libro
nella mia biblioteca) che quando Dirac le ha scritte io avevo appena
23 giorni (hai letto bene: ventitre' giorni).

Mi sono poi ricordato di averle lette quando avevo 20 anni.
Evidentemente hanno avuto su di me un effetto profondo...