Cosa è quantizzato?

[ricky]

Tutte le volte che ho sentito parlare di quantistica, ho sentito parlare di
funzioni d'onda, spazi hilbertiani, ecc... tutte cose "continue" ossia non
quantizzate. Mi chiedo, qual'è la grandezza fisica che effettivamente è
quantizzata, ossia presente solo come multiplo intero di una fondamentale?
Una sicuramente è la carica elettrica, ma le altre?

[Mauro Prencipe]

Post by ricky
Tutte le volte che ho sentito parlare di quantistica, ho sentito parlare di
funzioni d'onda, spazi hilbertiani, ecc... tutte cose "continue" ossia non
quantizzate. Mi chiedo, qual'è la grandezza fisica che effettivamente è
quantizzata, ossia presente solo come multiplo intero di una fondamentale?
Una sicuramente è la carica elettrica, ma le altre?

Dipende dai casi. Per esempio in un atomo isolato sono quantizzate le
energie degli elettroni ed i loro momenti angolari orbitali (e di spin,
ovviamente).

Mauro P.

[Elio Fabri]

Post by ricky
Tutte le volte che ho sentito parlare di quantistica, ho sentito
parlare di funzioni d'onda, spazi hilbertiani, ecc... tutte cose
"continue" ossia non quantizzate. Mi chiedo, qual'è la grandezza
fisica che effettivamente è quantizzata, ossia presente solo come
multiplo intero di una fondamentale? Una sicuramente è la carica
elettrica, ma le altre?
La quantizzazione è espressa innanzitutto dai numeri quantici e ce ne
sono veramente tanti. Carica elettrica, numero leptonico, barionico,
stranezza, isospin, spin, ecc. ecc.
...
Il fatto che la funzione d'onda spaziale non sia quantizzata è dovuto
al fatto che lo spazio (almeno in meccanica quantistica non
relativistica, poi non so) è un continuo, così come siamo sempre stati
abituati a pensarlo. Di conseguenza anche lo spazio di Hilbert, che è
lo spazio delle funzioni d'onda.
Spero di essere stato d'aiuto, ma anch'io ho qualche dubbio,
Dipende dai casi. Per esempio in un atomo isolato sono quantizzate le
energie degli elettroni ed i loro momenti angolari orbitali (e di
spin, ovviamente).

Ecco come la metterei io.
In primo luogo distinguerei quantizzazioni come quelle di cui parla
John, che non vengono fuori da "particolari hamiltoniane", ma
possono essere spiegate solo in un contesto alquanto piu' complesso,
ossia la teoria quantistica dei campi.

Restando al caso piu' semplice, per es. quello di una o piu'
particelle (elettroni, nuclei, a formare atomi o molecole) e' vero,
come dice Mauro, che un po' dipende dai casi, per cui la situazione
apparira' certo alquanto complicata a chi non sia abbastanza addentro.

Ci sono grandezze che a volte sono quantizzate, a volte no. E anche
quando lo sono, non vanno per "quanti" uguali.
L'esempio piu' ovvio e' l'energia di un atomo isolato, che possiede
infiniti livelli discreti, ma tutt'altro che equidistanti; e poi un
"continuo" di livelli corrispondenti agli stati ionizzati.
Invece il momento angolare e' *sempre* quantizzato, ma in un modo non
semplice, perche' bisogna distinguere tra modulo e componenti...
Poi ci sono grandezze come la q. di moto, per le quali ha anche poco
senso parlare di quantizzazione, perche' salvo casi eccezioanli
(particelle libere) non hanno neppure valori definiti (non sono
costanti del moto).

Tutto questo non ha molto a che vedere col fatto che la struttura
matematica di base della m.q. e' uno spazio di funzioni (sp. di
Hilbert). Quelli che sono o non sono quantizzati sono in realta' gli
autovalori degli operatori definiti su questo spazio.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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[Giovanni Piredda]

Post by ricky
Tutte le volte che ho sentito parlare di quantistica, ho sentito parlare di
funzioni d'onda, spazi hilbertiani, ecc... tutte cose "continue" ossia non
quantizzate. Mi chiedo, qual'è la grandezza fisica che effettivamente è
quantizzata, ossia presente solo come multiplo intero di una fondamentale?
Una sicuramente è la carica elettrica, ma le altre?

C'e' da dire che lo spazio di Hilbert possiede una caratteristica che lo
rende "discreto" in maniera naturale. Infatti esso possiede una base
ortonormale "numerabile"; e' cioe' possibile esprimere qualunque vettore
dello spazio di Hilbert come la combinazione lineare di vettori che fanno
parte di un insieme infinito ma numerabile.

Un insieme si dice "numerabile" quando i suoi elementi si possono mettere in
corrispondenza biunivoca con i numeri naturali (si possono, dunque,
contare).

Quindi lo spazio delle funzioni d'onda, che a prima vista appare continuo,
ha delle caratteristiche "discrete".
E' questa proprieta' di possedere una base numerabile che comporta, dal
punto di vista matematico, la possibilita' che certe grandezze fisiche siano
quantizzate.

Gio

[Elio Fabri]

Post by Giovanni Piredda
C'e' da dire che lo spazio di Hilbert possiede una caratteristica
che lo rende "discreto" in maniera naturale. Infatti esso possiede una
base ortonormale "numerabile"; e' cioe' possibile esprimere qualunque
vettore dello spazio di Hilbert come la combinazione lineare di
vettori che fanno parte di un insieme infinito ma numerabile.

Debbo dire che la tua interpretazione matematica non mi persuade...
Non vedo che cosa impedirebbe a un operatore di avere autovalori
discreti (almeno in parte) anche se lo spazio di H. non fosse
separabile.

Post by Giovanni Piredda
Quindi lo spazio delle funzioni d'onda, che a prima vista appare
continuo, ha delle caratteristiche "discrete".

Non e' che "a prima vista" appare continuo: la continuita' e' una
caratteristica topologica ben precisa.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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[Valter Moretti]

Post by Giovanni Piredda
C'e' da dire che lo spazio di Hilbert possiede una caratteristica che lo
rende "discreto" in maniera naturale. Infatti esso possiede una base
ortonormale "numerabile"; e' cioe' possibile esprimere qualunque vettore
dello spazio di Hilbert come la combinazione lineare di vettori che fanno
parte di un insieme infinito ma numerabile.

Ciao a tutti, e' un bel po' che non scrivo sul NG, ma ora ho 5 minuti
e vorrei replicare a quanto detto sopra.
Non e' proprio vero quanto scritto sopra: uno spazio di Hilbert
non e' necessariamente separabile. Cioe' puo' NON ammettere un
sistema ortonormale completo numerabile. In ogni caso pero' si puo'
provare
che, anche se lo spazio non e' separabile e dunque ogni base
hilbertiana
(ovvero sist. ort. completo) non e' numerabile, ogni vettore si
esprime
come una una somma (infinita in genere) *ma sempre numerabile* di
elementi
per ogni fissata base hilbertiana. Tali elementi dipendono dal vettore
decomposto sullabase considerata.

Post by Giovanni Piredda
E' questa proprieta' di possedere una base numerabile che comporta, dal
punto di vista matematico, la possibilita' che certe grandezze fisiche siano
quantizzate.

Non c'entra nulla come gia' fatto notare da Elio: prendi uno spazio di
Hilbert non separabile e considera un proiettore ortogonale P. Si
tratta
di un operatore limitato autoaggiunto il cui spattro e' puramente
discreto
e costituito dai due soli autovalori 0 e 1 e questo anche se lo spazio
non e' separabile. Le questioni di separabilita' e spettro degli
operatori
autoaggiunti sono in scorrelate (inoltre il teorema spettrale non
necessita dell'ipotesi di separabiltia' anche se su molti testi essa
e' richiesta
per semplificare le dimostrazioni).
La richiesta di separabilita' invece gioca un ruolo (fisico)
importante nel teorema di Stone - Von Neumann (e generalizzazioni di
Nelson nella teoria delle rappresentazioni unitarie dei gruppi)
che dice che se in uno spazio di H. esistono due operatori con la
stessa algebra di commutazione dell'operatore posizione ed impulso
(per esempio in una dimensione) e se valgono altre opportune
ipotesi tra cui la separabilita' dello spazio, allora lo spazio di
Hilbert
e' unitariamente isomorfo ad un L^2(R^p) (p=1 in una dimensione) e
l'isomorfismo unitario trasforma i due operatori diventano proprio
posizione
ed impulso della formulazione elementare della MQ.

Ciao a tutti, Valter

[John Travolta Sardus]

Post by Valter Moretti
Le questioni di separabilita' e spettro degli
operatori
autoaggiunti sono in scorrelate (inoltre il teorema spettrale non
necessita dell'ipotesi di separabiltia' anche se su molti testi essa
e' richiesta
per semplificare le dimostrazioni).

Ciao, mi sono incuriosito ... e spero che tu abbia altri 5 minuti.
Prendiamo il caso di uno spazio di Hilbert non separabile (nelle lezioni
che ho seguito io, di Giancarlo Ghirardi a Trieste, la separabilita' era
data tra gli assiomi di definizione dello spazio di Hilbert; ma grazie
al vostro stimolo ho controllato su altre fonti che danno come
definizione "spazio lineare, dotato di prodotto scalare, completo
rispetto alla metrica indotta" ).

Puo' esistere in questo spazio un operatore autoaggiunto il cui spettro
sia continuo e i cui autovettori siano tutti propri? Correggimi se
sbaglio, ma allo spettro continuo per un operatore autoaggiunto in uno
spazio di Hilbert separabile corrispondono autovettori impropri.

Giovanni

[Valter Moretti]

c'era chi pensava che un sp. di H. sia separabile *per definizione*.
Per mostrare che non e' vero, ho usato lo stesso esempio.

Ciao, si sono andato a vedere ed e' essenzialmente lo stesso
esempio, in effetti non credo che ce ne siano molti altri!

Ciao, Valter


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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html

[Slacky]

Ciao Valter,

Post by Valter Moretti
Ciao, si sono andato a vedere ed e' essenzialmente lo stesso
esempio, in effetti non credo che ce ne siano molti altri!

guarda un po' il libro Analisi Reale e Complessa di Rudin e fra gli
esercizi del capitolo sugli spazi di Hilbert ne troverai proprio uno in
cui si esibisce esplicitamente uno spazio di Hilbert non separabile.
ciao
slacky

P.S.
non vorrei sbagliare libro, non ce l'ho sott'occhio al momento

[Giovanni Piredda]

Ciao, io su quel NG non ci scrivo piu', pero' se si vuole
continuare la discussione su questo, ora ch ho un po' di
tempo, sarei anche interessato, visto che ho pensato molto
a quel genere di argomenti in passato.
Ciao, Valter

Ciao,
bene, io non ho ancora fatto in tempo a riflettere bene su tutte le risposte
che mi sono state date, pero' questo non mi trattiene dal porre di nuovo la
domanda che ho posto su ism (anche perche' mi pare che non sia stata data,
la', una risposta definitiva).

Il punto di collegamento con la fisica e' dato dal fatto di cosa c'entri la
separabilita' dello spazio nelle condizioni di quantizzazione (e ovviamente
mi sono accorto che sia Valter Moretti che Elio Fabri pensino che non
c'entri molto; ma io mi voglio chiarire le idee)

La domanda e' : sono vere le seguenti affermazioni?

Caso "spazio di Hilbert separabile".

L'insieme degli autovalori dello spettro discreto e' vuoto o finito o
numerabile.

L'insieme degli autovalori dello spettro continuo e' vuoto, oppure continuo.

Caso "spazio di Hilbert non separabile".

L'insieme degli autovalori dello spettro discreto puo' essere vuoto,
finito, numerabile o continuo.

[Valter Moretti]

Post by Giovanni Piredda
Il punto di collegamento con la fisica e' dato dal fatto di cosa c'entri la
separabilita' dello spazio nelle condizioni di quantizzazione (e ovviamente
mi sono accorto che sia Valter Moretti che Elio Fabri pensino che non
c'entri molto; ma io mi voglio chiarire le idee)

Ciao, invece c'entra, ma non nel senso che credi tu.
C'e' un teorema molto famoso detto di Stone-Von Neumann
che assicura la seguente cosa (detta in soldoni):
se hai in uno spazio di Hilbert delle osservabili
che hanno la stessa algebra
di commutazione degli operatori X e P allora, ammesso
che lo spazio sia *separabile*, lo spazio di Hilbert e'
proprio (e' unitariamente legato a) quello di una
particelle con quel X e quel P, cioe'uno spazio L^2
dove X e' la moltiplicazione per X e P la derivata con
i fattori giusti.
Questo risultato non vale piu' quando passi dalle
particelle ai campi quantizzati e tale fatto ha risultati
abbastanza devastanti o interessanti a seconda dei punti
di vista.

Post by Giovanni Piredda
La domanda e' : sono vere le seguenti affermazioni?
Caso "spazio di Hilbert separabile".
L'insieme degli autovalori dello spettro discreto e' vuoto o finito o
numerabile.

Vero

Post by Giovanni Piredda
L'insieme degli autovalori dello spettro continuo e' vuoto, oppure continuo.

Ovviamente ci sono operatori autoaggiunti con spettro
continuo vuoto: hamiltoniano dell'oscillatore armonico. ma per
rispondere alla domanda devi dirmi cosa intendi con
"continuo" riferito all'insieme degli elementi dello spettro continuo
(la cui definizione ti e' stata data precedentemente).
Se intendi nel senso della cardinalita',
la risposta e' negativa perche' lo spettro continuo puo' essere si vuoto
ma non necessariamente di cardinalita' del continuo.
Il controesempio si costruisce cosi'.
E' noto che lo spettro e' sempre chiuso e che, per operatori
autoaggiunti non c'e' spettro residuo. Quindi basta per esempio
esibire un operatore autoaggiunto con spettro che contiene una
successione di numeri che tende a 0 ma che non ammetta 0 come
autovalore. Si puo' fare cio' con operatori compatti.
Per esempio l'inverso dell'operatore dell'oscillatore armonico.
Dato che lo spettro deve essere chiuso, 0 deve appartenere ad
esso ma non puo' essere nello spettro puntuale per ipotesi, allora
e' nello spettro continuo (non c'e' lo spettro residuo).
Per l'operatore in questione lo spettro e' esaurito aggiungendo 0
agli autovalori della successione. Di conseguenza lo spettro
continuo e' formato da un unico punto.



Si puo' dire un po' di piu' e rispondere positivamente
alla questione aggiungendo un'ipotesi.
La proprieta' che caratterizza lo spettro continuo e' che, se x
appartiene allo spettro continuo la sua misura a valori di proiezione
e' sempre nulla mentre c'e' un intervallo contenete il punto e tale
intervallo ha misura non nulla. (Viceversa se x e' nello spettro
puntuale (discreto vuole dire puntuale + dimensione finita
dell'autospazio associato) la misura di proiezione di x e' non nulla.)
Si puo' quindi concludere che: *se e' noto a priori
che lo spettro continuo di un certo operatore ha misura di proiezione
non nulla* (diversamente dal controesempio di sopra)
allora tale parte dello spettro deve avere cardinalita' piu' che
numerabile, ossia almeno quella del continuo assumendo l'ipotesi del
continuo.

Post by Giovanni Piredda
Caso "spazio di Hilbert non separabile".
L'insieme degli autovalori dello spettro discreto puo' essere vuoto,
finito, numerabile o continuo.

Non ci ho mai pensato all'ultimo caso, pero' mi pare possibile se per
continuo intendi che abbia la cardinalita' del continuo.
Un esempio si dovrebbe costruire con lo spazio di Hilbert non
separabile che ho esibito in un precedente post. Riferendomi a quel
post mi pare che basti considerare l'operatore che in nutazione di Dirac
e' dato da:

somma_x (tanh x) |1_x><1_x|

definito nel sottospazio denso dei vettori con un numero finito di
componenti. Questo operatore e' sicuramente limitato per costruzione
ed ammette un'estensione autoaggiunta che dovrebbe avere spettro
puntuale di cardinalita' continua dato da (-1,1).

Ciao, Valter





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Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
Italy
http://www.science.unitn.it/~moretti/homeE.html