Somma in quadratura: teoria degli errori

[FDM+]

Ciao,
vorrei un chiarimento sulla somma in quadratura, probabilmente mi sto
creando troppi problemi di "definzione".

Sto leggendo il testo di Taylor della Zanichelli e al cap.3 introduce la
somma in quadratura dando una giustificazione dell'uso di questa incertezza.

Sostanzialmente l'autore considera due grandezze X e Y tutte e due con una
incertezza rispettivamente dX e dY.

Quindi sommandole l'errore che si commetterebbe, in maggiorazione, sarebbe
dato da:

dX+dY

Fin qui tutto bene.

Il problema di comprensione che ho è non appena l'autore cerca di
giustificare l'uso della somma in quadratura.

Prende il valore massimo della somma di X+Y e dice che l'estremo superiore
della somma è dato da:

1) X+Y+dX+dY

e l'estremo inferiore da:

2) X+Y-dX-dY

vorrei domandarvi: la relazione al punto 1) posso considerarla come una
sovrastima di X+Y? e quella al punto 2) posso considerla come una sottostima
di X+Y?

L'autore giustifica la somma in quadratura dicendo che per avere la 1) si
deve sottostimare sia X sia Y delle quantità dX e dY, ma inquesto caso se
X+Y+dX+dY è una sovrastima di X+Y direi che siamo in presenza di una
incongruenza, cioè la somma di due sottostime darebbero una sovrastima
(?????).


Vi ringrazio e scusate la complessità "tipografica" del messaggio.

Fabrizio



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[Pietro]

Post by FDM+
Prende il valore massimo della somma di X+Y e dice che l'estremo superiore
1) X+Y+dX+dY
2) X+Y-dX-dY
vorrei domandarvi: la relazione al punto 1) posso considerarla come una
sovrastima di X+Y? e quella al punto 2) posso considerla come una sottostima
di X+Y?

Non sono sicuro di che cosa intendi per "sottostima" e "sovrastima"; io
direi che la stima di X è compresa tra x-dx e x+dx

Supponi di misurare separatamente X e Y molte volte e di ottenere che:
a) la misura di X e' sempre compresa tra x-dx e x+dx
b) la misura di Y e' sempre compresa tra y-dy e y+dy

Ora, se vuoi ottenere una stima della grandezza Z=X+Y e della sua
incertezza puoi ragionare cosi':

il massimo valore ottenuto per X è x+dx
il massimo valore ottenuto per Y è y+dy
quindi il max valore che puoi ottenere per Z è x+y+(dx+dy)

il minimo valore ottenuto per X è x-dx
il minimo valore ottenuto per Y è y-dy
quindi il min valore che puoi ottenere per Z è x+y-(dx+dy)

Allora puoi dire che Z dovra' essere compresa tra z-dz e z+dz
dove z=x+y e dz=dx+dy

Post by FDM+
L'autore giustifica la somma in quadratura dicendo che per avere la 1) si
deve sottostimare sia X sia Y delle quantità dX e dY, ma inquesto caso se
X+Y+dX+dY è una sovrastima di X+Y direi che siamo in presenza di una
incongruenza, cioè la somma di due sottostime darebbero una sovrastima
(?????).

Confesso di non aver capito molto bene la tua domanda: io direi che
dz=dx+dy e' una stima dell'incertezza associata alla misura della
grandezza Z=X+Y. Per ottenere questa stima abbiamo considerato la
peggior situazione possibile; ovvero quella in cui le incertezze su X e
Y si combinano nel modo piu' sfavorevole.

Di solito l'incertezza ottenuta con questo tipo di combinazione viene
considerata sovrastimata; appunto nel senso che tiene conto della
situazione più sfavorevole.

Altre modalita' di calcolo dell'incertezza dovuta alla combinazione di
misure sono basate su criteri di tipo statistico e tengono conto del
fatto che le incertezze associare alle misure di X e Y possono in parte
compensarsi.

[Elio Fabri]

Post by FDM+
vorrei un chiarimento sulla somma in quadratura, probabilmente mi sto
creando troppi problemi di "definzione".
Sto leggendo il testo di Taylor della Zanichelli e al cap.3 introduce
la somma in quadratura dando una giustificazione dell'uso di questa
incertezza.

Purtroppo non ho presente come Taylor giustifica la regola, ma mi
sembra comunque utile ricordarti la giustificazione "seria".

L'ipotesi che si fa e' che gli errori accidentali nelle due misure
siano variabili casuali *indipendenti*.
In questo caso un teorema di calcolo delle probabilita' ti dice che la
varianza di X+Y e' la somma delle varianze di X e di Y.

Per definizione, la varianza e' il quadrato dello scarto quadratico
medio (ovvero, lo s.q.m. e' la radice quadrata della varianza).
Percio' per lo s.q.m. di X+Y hai proprio la regola della quadratura.