Ecco qualche dettaglio.
Diciamo che le cariche sono positive e distribuite uniformemente
su una linea che va da x=0 a x=L.
Ko = 1/(4*pi*eps_0)
lambda = Q/L
Le componenti Ex ed Ey, solo per questo caso specifico, sono:
Ex = (Ko)*(lambda)*((1/sqrt((x - L)^2 + y^2)) - (1/sqrt(x^2 + y^2)))
Ey = ((Ko)*(lambda)/y)*((x/sqrt(x^2 + y^2)) - ((x - L)/sqrt((x - L)^2 +
y^2)))
Nel punto P(0,a), con a>0, il campo elettrostatico è un vettore che
ha una componente orizzontale Ex negativa e una componente verticale
Ey positiva:
Ex(0,a) = (Ko)*(lambda)*((1/sqrt(L^2 + a^2)) - (1/a))
Ey(0,a) = ((Ko)*(lambda)/a)*(L/sqrt(L^2 + a^2))
Devo trovare il potenziale V nel punto P(0,a) rispetto a zero,
cioè rispetto ad un punto che si trova a distanza infinita da P(0,a)
in direzione di E=<Ex, Ey>. Visto che ho le componenti di E, invece
di usare l'integrale V=int(E dr) uso l'integrale V=int((Ex)dx + (Ey)dy).
L'integrale per trovare il potenziale si ricava dall'integrale
che si usa per calcolare il lavoro, quindi lo svolgimento dei
calcoli dovrebbe essere lo stesso:
1) Parametrizzare il percorso dal punto iniziale al punto finale:
in questo caso il percorso sarebbe da P(0,a) ad infinito in direzione
di E, ma ho le componenti di E, quindi l'idea era di andare verso
infinito lungo la direzione di Ex ed poi Ey. Visto che il percorso
deve essere orientato(ed in questo caso è definito per casi) ho
parametrizzato per x e y in questo modo:
C1 -> x=x => dx=dx, -inf < x < 0
y=a(costante) => dy = 0 => (Ey)dy=0
integrale curva C1 = int((Ex)dx) da -inf -> 0
C2 -> x=0 => dx=0 => (Ex)dx=0
y=y => dy=dy, a < y < +inf
integrale curva C2 = int((Ey)dy) da a -> +inf
Il percorso dovrebbe essere orientato: per C1 parto da
-inf(la componente orizzontale Ex è negativa quindi parto
da -inf) vado verso destra fino al punto P(0,a); poi dal
punto P(0,a) vado verso l'alto a +inf per la curva C2
(cioè l'asse delle y).
2) Sostituire i parametri dentro Ex e Ey:
ho parametrizzato per x e y quindi sono a posto.
3) Sparare il tutto dentro l'integrale e fare i calcoli:
in questo caso gli integrali sono due, per trovare il
risultato finale devo sommarli.
I due integrali danno lo stesso risultato(che dovrebbe essere quello
corretto):
V = (Ko)*(lambda)*LN((L + sqrt(L^2 + y^2))/y)
ma purtroppo quando vado a fare la somma ho *due* volte il
risultato corretto.
Ciao!